學習目標
- 建立空間坐標，計算空間向量的長度、內積與外積。
- 由法向量寫出平面方程式，求點到平面距離與兩平面夾角。
- 寫出空間直線的參數式與比例式，判斷直線與平面的關係。
- 用消去法或幾何觀點判斷三元一次方程組的解。
核心概念
空間向量與坐標
- 空間點 ；兩點距離 。
- 內積 。
- 外積 同時垂直 與 ，長度等於兩向量張出的平行四邊形面積。
- 三向量張出的平行六面體體積 （三階行列式的絕對值）。
空間中的平面
先想一想：一張平面要怎麼用最少的資訊描述？一個點加上「垂直它的方向」就夠了。
- 過點 、法向量 的平面：。
空間中的直線
- 參數式：， 為方向向量。
三元一次方程組
- 每個方程式代表一個平面，解就是平面的共同交點。
- 可能情形：恰一解（三平面交於一點）、無限多解（交於一線或重合）、無解。
- 用消去法化簡；三階行列式 時恰有一解。
重要公式
| 公式 | 說明 |
|---|---|
解題策略
- 求平面：找一點和法向量；法向量常由外積得到。
- 求直線：找一點和方向向量；兩平面的交線方向是兩法向量的外積。
- 交點：把直線參數式代入平面方程式解 。
- 距離：點到平面用公式；點到直線可設垂足參數，再用垂直（內積 ）求 。
看詳解
截距式可直接寫出：，即 。
看詳解
。
看詳解
代入：，，。
常見錯誤
小試身手
平面 與 是否垂直？
看詳解
法向量內積 ，所以不垂直。