學習目標
- 熟練多項式除法，用餘式定理與因式定理快速求餘式、找因式。
- 由配方讀出二次函數的頂點、對稱軸與最大最小值。
- 看懂三次函數的圖形與對稱中心，判斷遞增、遞減。
- 用根與係數關係、勘根定理處理方程式的根。
核心概念
多項式除法與餘式定理
先想一想：不做長除法，要怎麼知道 除以 的餘數？把 代進去就好，答案是 。
- 除法原理：，。
- 餘式定理： 除以 的餘式為 ；除以 的餘式為 。
二次函數
- 配方：，頂點 ，對稱軸 。
三次函數圖形
- 的圖形對稱於點 （對稱中心）。
多項式方程式與根
- 次方程式在複數中恰有 個根（含重根）；實係數方程式的虛根成對共軛出現。
- 根與係數（二次）：，。
重要公式
| 公式 | 說明 |
|---|---|
| 的餘式 | 餘式定理 |
解題策略
- 求餘式：除式是一次式就代值；是二次式就設 ，用除式的兩根代入。
- 找因式：先試 、 常數項的因數，找到根就降次。
- 二次函數最值：先配方找頂點，再確認頂點是否在指定範圍內。
- 根的個數與範圍：畫出函數圖形，或用勘根定理找出根所在的區間。
看詳解
設餘式為 ，則 。
看詳解
配方：，頂點 在區間內，最小值 。
看詳解
試 ：，所以 是因式。
常見錯誤
小試身手
若 可被 整除，求 。
看詳解
由因式定理，，得 ，。