數學・向量｜主題學習

學習目標

用「位移」理解向量，會用分點公式判斷點的位置，以及三點共線。
用內積處理長度、夾角與垂直。只知道長度、不知道坐標時，也能求出內積。
用行列式求面積，並看出「向量換組合時，面積放大幾倍」。
拿到題目時，能先判斷該用分點、內積還是行列式。

先測一下

不必全會。先試著作答，答錯的地方就是等一下最值得注意的地方。

$|\vec a|=3$ 、 $|\vec b|=4$ 、 $|\vec a+\vec b|=5$ ，求 $\vec a\cdot\vec b$ 。
$A(1,2)$ 、 $B(4,6)$ ，求 $|\overrightarrow{AB}|$ 。
$\vec a=(3,4)$ 在 $\vec b=(1,0)$ 方向上的正射影長是多少？

看詳解

$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$ ，所以，得，兩向量垂直。

核心概念

平面向量運算

向量就是「位移」：只在乎往哪走、走多遠，不在乎從哪裡出發。

$\overrightarrow{AB}=B-A$ （終點減起點）； $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ 。

看詳解

係數和 $\dfrac35+\dfrac25=1$ ，所以在直線上；兩係數都是正數，所以在線段內。

看詳解

係數和是 $1$ ，所以 $P$ 在線段 $\overline{AB}$ 上。 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\dfrac34\overrightarrow{AB}$ ，所以。比較靠近，所以的係數比較大。

內積與正射影

$正射影示意圖：a 的影子落在 b 所在的直線上$

內積回答的問題是：「 $\vec a$ 有多少落在 $\vec b$ 的方向上？」

$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2$ ；。

看詳解

$\vec a\cdot\vec b=3\cdot2\cdot\dfrac12=3$ 。

看詳解

$9+2\times3+4=19$ ，所以 $|\vec a+\vec b|=\sqrt{19}$ 。

行列式與面積

$\vec u=(a,b)$ 、 $\vec v=(c,d)$ 張出的平行四邊形面積是；張出的三角形面積是它的一半。

看詳解

$\overrightarrow{AB}=(3,1)$ 、 $\vec{A C} = ($ ，行列式，所以面積為。

看詳解

倍數是 $-2$ ；面積要取絕對值，所以是 $2\times4=8$ 。

重要公式

看到	用
$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$

解題策略

先看題目問什麼，再決定工具：

問點的位置、比例、共線 → 把點寫成 $s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ ，看係數和，以及係數的正負。

混合練習

這 6 題刻意打亂順序。每題先在心裡說出要用哪個工具，再動手算。

$|\vec a|=2$ 、 $|\vec b|=3$ 、，求夾角。

看詳解

內積： $\cos\theta=\dfrac{-3}{6}=-\dfrac12$ ，所以。

常見錯誤

小試身手

用真正的考題做最後檢核。做完後，對照題目頁上的全國答對率，看看自己的表現：

111 學測數學B 混合題 14：圓上兩點的內積（答對率 44%）
114 分科數學乙選填 12：把向量改寫成已知向量的組合（答對率 41%）
110 學測數學單選 4：組合向量的面積（答對率 31%）
挑戰題：112 學測數學A 混合題 15，注意外分點（答對率 25%）

看詳解

答案分別是 $17$ 、 $\sqrt{13}$ 、 $16$ 、。做錯的話，回到對應觀念的「考題怎麼考」，看看自己卡在哪一步。

向量

對應課本章節

這單元怎麼考

學習目標

先測一下

核心概念

平面向量運算

內積與正射影

行列式與面積

重要公式

解題策略

混合練習

常見錯誤

小試身手

複習計畫

觀念練習

平面向量運算

內積與正射影

行列式與面積