坐標平面上有一向量 $\vec{u}=(1,2)$ 及三點 $A(1,1)$、$B(4,2)$、$C$，其中點 $C$ 位於第二象限。已知 $\vec{u}$ 與向量 $\overrightarrow{CA}$ 垂直，且 $\vec{u}$ 與向量 $\overrightarrow{CB}$ 的夾角為 $\theta$，其餘弦值為 $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$。根據上述，試回答下列問題。 試求線段 $\overline{BC}$ 的長度。