數學・數列與級數｜主題學習

學習目標

寫出等差、等比數列的一般項，並求前 $n$ 項和。
使用 $\Sigma$ 符號與常用的求和公式。
由遞迴關係寫出數列，並用數學歸納法證明與自然數有關的命題。

核心概念

等差數列與級數

先想一想： $1+2+\cdots+100$ 怎麼快速算？把第一項和最後一項配對： $(1+100)\times\dfrac{100}{2}=5050$ 。

一般項 $a_n=a_1+(n-1)d$ 。
前 $n$ 項和。

等比數列與級數

一般項 $a_n=a_1r^{n-1}$ 。
前 $n$ 項和（）；時。

$\Sigma$ 符號與常用和

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$ 、、。

遞迴與數學歸納法

遞迴式描述「下一項如何由前一項得到」，例如 $a_{n+1}=a_n+3$ （等差）、 $a_{n+1}=2a_n$ （等比）。

重要公式

公式	說明
$a_n=a_1+(n-1)d$	等差一般項
$_{}$

解題策略

判斷類型：相鄰兩項相減是常數 → 等差；相除是常數 → 等比。
設未知數：三數成等差設 $a-d,a,a+d$ ；三數成等比設 $\dfrac ar,a,ar$ ，可以簡化計算。

看詳解

$a_{10}-a_3=7d=21$ ，；。

看詳解

每項 $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ ，相加後中間抵消：

看詳解

$n=1$ ：左式 $=1=1^2$ ，成立。

假設 $n=k$ 時。則時，左式，也成立。

常見錯誤

小試身手

求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(2k+1)$ 。

看詳解

$\sum(2k+1)=2\cdot\dfrac{10\cdot11}{2}+10=110+10=120$ 。

數列與級數

對應課本章節

這單元怎麼考

學習目標

核心概念

等差數列與級數

等比數列與級數

$\Sigma$ 符號與常用和

遞迴與數學歸納法

重要公式

解題策略

常見錯誤

小試身手

觀念練習

等差數列與級數

等比數列與級數

遞迴與數學歸納法

對應課本章節

這單元怎麼考

學習目標

核心概念

等差數列與級數

等比數列與級數

Σ\SigmaΣ 符號與常用和

遞迴與數學歸納法

重要公式

解題策略

常見錯誤

小試身手

觀念練習

等差數列與級數

等比數列與級數

遞迴與數學歸納法

$\Sigma$ 符號與常用和