學習目標
- 分辨有理數與無理數，熟練根式化簡與分母有理化。
- 把絕對值看成「數線上的距離」，解絕對值方程式與不等式。
- 用算幾不等式求最大值、最小值，並會檢查等號何時成立。
- 掌握除法原理、最大公因數與餘數，處理整數問題。
- 用「先找根、再看開口」解一元二次不等式。
核心概念
實數與絕對值
先想一想： 的解是什麼？與其背公式，不如問「數線上哪些點離 的距離是 ？」答案是 與 。
- 實數 = 有理數（可寫成 ， 為整數、）＋ 無理數（如 、）。
算幾不等式
先想一想：周長固定 的長方形，什麼時候面積最大？直覺是正方形，算幾不等式把這個直覺變成證明。
- 當 ：，等號成立 。
整數性質與數論
- 除法原理：對整數 與正整數 ，存在唯一的 使 ，。
一元二次不等式
先想一想： 的解為什麼是「兩根之間」？因為拋物線開口向上，只有在兩根之間圖形才落在 軸下方。
- 先解 的兩根 ，再看開口：
- ： 取 或 ； 取 。
重要公式
| 公式 | 說明 |
|---|---|
| 開根號一定是非負 | |
解題策略
- 絕對值：先畫數線，把式子翻成「距離」；兩個以上絕對值時，用讓絕對值內為 的點分段討論。
- 最值：看到「正數、和或積固定」就想算幾不等式；寫完一定要找出等號成立的 。
- 整數：把條件寫成除法原理或質因數分解，再討論餘數或因數個數。
- 二次不等式：因式分解 → 找根 → 畫草圖 → 讀出區間；不要只背「大於取外、小於取內」而忘了開口方向。
看詳解
表示 到 與到 的距離和。當 時，距離和恰為兩點距離 ；在兩點之外時一定更大。
看詳解
與 都是正數，且乘積 固定。
看詳解
的次方個位數字依序為 ，每 次一循環。
，餘數為 ，所以個位數字與 相同，為 。
看詳解
兩邊乘 ，不等號變向：，即 。
常見錯誤
小試身手
解 。
看詳解
。