在空間坐標系中，有一球心坐標在 $O(0,0,0)$ 且北極點在 $N(0,0,2)$ 的地球儀。已知球面上點 $A$ 坐標為 $\left(\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac12,\sqrt3\right)$，赤道上距離點 $A$ 最遠的點為點 $P$，則在通過點 $A$、點 $P$ 的大圓上這兩點的劣弧長為 $\pi$。（化為最簡分數）