坐標平面上，設 $L_1$、$L_2$ 為通過點 $(3,1)$ 且斜率分別為 $m$、$-m$ 的兩條直線，其中 $m$ 為一實數。另設 $\Gamma$ 為圓心在原點的一個圓。已知 $\Gamma$ 與 $L_1$ 交於相異兩點 $A$、$B$，且知圓心到 $L_1$ 的距離為 $1$，又 $\Gamma$ 與 $L_2$ 相切，則弦 $AB$ 的長度為：分子 ，分母 。（化為最簡分數）