學習目標
- 由兩點或點斜式寫出直線方程式，理解斜率與平行、垂直的關係。
- 用公式求點到直線距離與兩平行線距離。
- 由圓心與半徑寫出圓方程式，判斷直線與圓的位置關係並求切線。
- 用「畫可行解區域、檢查頂點」解線性規劃。
核心概念
直線方程式與斜率
先想一想：斜率 的直線，往右走 格會往上幾格？答案是 格，斜率就是「每往右一單位的高度變化」。
- 斜率 ；鉛直線沒有斜率。
- 點斜式 、斜截式 、一般式 （斜率 ）。
- 兩直線平行 斜率相等（且不重合）；垂直 。
- 與 平行的直線可設為 ；垂直的可設為 。
點到直線距離
- 點 到 的距離 。
圓方程式與切線
先想一想：圓上的點有什麼共同點？它們到圓心的距離都等於半徑，圓方程式就是把這句話寫成算式。
- 標準式 ；一般式 ，配方後得圓心 。
線性規劃
- 把限制條件畫成半平面，交集是可行解區域。
- 目標函數 的最大、最小值一定出現在區域的頂點（區域有界時）。
重要公式
| 公式 | 說明 |
|---|---|
解題策略
- 求直線：先找斜率（由兩點、平行或垂直條件），再代入一點用點斜式。
- 距離與相切：相切、弦長、最近距離的題目，先算圓心到直線的距離。
- 弦長：半弦長 ，弦長是它的兩倍。
- 線性規劃：列不等式 → 畫區域 → 求頂點 → 代入目標函數比大小。
看詳解
所求直線可設為 。代入 ：，。
看詳解
配方：，圓心 、半徑 。
看詳解
可行解區域的頂點為 、、，以及 與 的交點 。
常見錯誤
小試身手
求點 到直線 的距離。
看詳解
。