學習目標
- 用加法、乘法原理與集合（排容原理）有系統地計數。
- 分辨排列與組合，處理相鄰、不相鄰、重複等常見條件。
- 用二項式定理展開並求特定項係數。
- 計算古典機率、條件機率，判斷事件是否獨立。
- 求期望值，認識二項分布。
核心概念
集合與計數原理
- 加法原理：分成互斥的「類」時，方法數相加。
- 乘法原理：分成接連的「步驟」時，方法數相乘。
- 排容原理：；三個集合時再加回 。
- 補集思考：「至少一個」通常用「全部 − 一個都沒有」比較快。
排列
先想一想： 人排成一列有幾種排法？第一個位置 種選擇、第二個 種……共 種。
- 個相異物全取排列：；取 個排列：。
組合與重複組合
- 組合 ；。
二項式定理
- 。
古典機率
- 古典機率 （樣本空間中每個結果等可能時）。
- 餘事件 ；互斥事件 ，一般情形再減 。
條件機率與獨立事件
- 條件機率 ；乘法 。
期望值與二項分布
- 期望值 ，是長期平均下來的結果。
- 二項分布：重複 次獨立試驗、每次成功機率 ，成功 次的機率 ；。
重要公式
| 公式 | 說明 |
|---|---|
解題策略
- 計數：先判斷「分類」還是「分步」；條件多時先處理限制最嚴格的位置。
- 至少、至多：考慮補集。
- 特定項係數：寫出一般項，讓 的次方等於指定值解出 。
- 條件機率：先畫樹狀圖或列表，把分母（已知發生的事件）算清楚。
看詳解
先排 男：。男生之間與兩端共有 個空隙，選 個排女生：。
看詳解
令 等，得 的非負整數解： 組。
看詳解
一般項 。令 ，。
看詳解
。
常見錯誤
小試身手
擲一枚公正硬幣 次，恰好出現 次正面的機率為何？
看詳解
。