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111-學測-數學A-題組-18-20
中等
0
0
坐標平面上有一環狀區域由圓
x
2
+
y
2
=
3
x^{2}+y^{2}=3
x
2
+
y
2
=
3
的外部與圓
x
2
+
y
2
=
4
x^{2}+y^{2}=4
x
2
+
y
2
=
4
的內部交集而成。某甲欲用一支長度為 1 的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之
x
x
x
軸上方的某區域
R
R
R
。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓
C
1
:
x
2
+
y
2
=
3
(
y
≥
0
)
C_1:x^2+y^2=3(y \geq 0)
C
1
:
x
2
+
y
2
=
3
(
y
≥
0
)
、
C
2
:
x
2
+
y
2
=
4
(
y
≥
0
)
C_2:x^2+y^2=4(y \geq 0)
C
2
:
x
2
+
y
2
=
4
(
y
≥
0
)
上移動。開始時掃描棒黑端在點
A
(
3
,
0
)
A(\sqrt3,0)
A
(
3
,
0
)
，白端在
C
2
C_2
C
2
的點
B
B
B
。接著黑、白兩端各沿著
C
1
C_1
C
1
、
C
2
C_2
C
2
逆時針移動，直至白端碰到
C
2
C_2
C
2
的點
B
′
(
−
2
,
0
)
B^{\prime}(-2,0)
B
′
(
−
2
,
0
)
便停止掃描。
試問點
B
B
B
的坐標為下列哪一選項？
令
O
O
O
為原點，掃描棒停止時黑、白兩端所在位置分別為
A
′
,
B
′
A^\prime,B^\prime
A
′
,
B
′
。試在答題卷上作圖區中 以斜線標示掃描棒掃過的區域
R
R
R
；並於求解區內求
cos
∠
O
A
′
B
′
\cos\angle OA^{\prime}B^{\prime}
cos
∠
O
A
′
B
′
及點
A
′
A^\prime
A
′
的極坐標。
cos
∠
O
A
′
B
′
=
\cos\angle OA^{\prime}B^{\prime} =
cos
∠
O
A
′
B
′
=
A
′
A^\prime
A
′
的極坐標
=
(
=(
=
(
,
,
,
)
)
)
（承 19 題）令
Ω
\Omega
Ω
表示掃描棒在第一象限所掃過的區域，試分別求
Ω
\Omega
Ω
與
R
R
R
的面積。
Ω
\Omega
Ω
的面積
=
=
=
R
R
R
的面積
=
=
=
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低分組答對率: 25 %
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