某商店以抽獎方式販售一熱門公仔，每次抽獎都互相獨立且抽中的機率為 $\dfrac{2}{5}$。參加者可用以下兩種方式參加抽獎。 方式一：先付 $225$ 元得到兩次抽獎機會，只要抽中即停止抽獎且得到一個公仔；若這兩次皆未抽中，則必須再多付 $75$ 元得到一個公仔。 方式二：抽獎次數不限，每抽獎一次付 $100$ 元。 根據上述，試回答下列問題。 若以方式二抽獎直到抽中一個公仔為止，試依期望值定義，使用 $\sum$ 符號表示所需抽獎次數的期望值，並求其值。