學習目標
- 理解數列與函數極限的意義，計算常見的極限值。
- 由導數的定義理解「切線斜率」與「瞬間變化率」，熟練多項式的微分。
- 用導數判斷函數的遞增、遞減、極值與凹凸，解最佳化問題。
- 理解定積分是「面積」，用微積分基本定理計算面積。
核心概念
數列與函數極限
先想一想：n1 在 n 越來越大時會怎樣？它越來越接近 0，但永遠不等於 0，這就是「極限為 0」的意思。
- n→∞limn1=0；∣r∣ 時 。
導數與切線
- 定義：f′(a)=h→0limh，就是 在 的切線斜率。
微分應用
- f′(x)>0 的區間遞增，f′(x)<0 的區間遞減。
- 且 在 由正變負 → 極大值；由負變正 → 極小值。
定積分與面積
- ∫abf(x)dx 是 f 在 [a,b] 的「有號面積」（ 軸下方取負）。
重要公式
| 公式 | 說明 |
|---|
| f′(a)=h→0lim |
解題策略
- 極限：先代入；得到 00 就因式分解，得到 ∞∞ 就同除最高次。
- 切線：求 當斜率，代入點斜式；若只給斜率，解 找切點。
看詳解
x−2x2−4（），所以極限為 。
看詳解
y′=3x2−3，；切點 。
看詳解
設垂直牆的邊為 x，則平行牆的邊為 20−2x，面積 A(x)=x(20，。
看詳解
交點：x2=2x，x=0 或 2。在 時 。
常見錯誤
小試身手
求 ∫13(2x+1)dx。
看詳解
[x2+x]13=。