假設兩數列 $\left\langle a_{n}\right\rangle$、$\left\langle b_{n}\right\rangle$，對所有正整數 $n$ 都滿足 $b_{n}+\frac{4n-1}{n}\lt a_{n}\lt 3b_{n}$。已知 $\operatorname*{lim}_{n\to\infty}a_{n}=6$，試選出正確的選項。