數學 11 / 13

矩陣

矩陣運算與反方陣，以及旋轉、鏡射、伸縮等線性變換。

約 6 分鐘 · 2 個觀念 · 32 題

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數學第四冊 A/B｜矩陣11下

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這單元怎麼考

依 2019–2026 學測、分科（指考）共 32 題的大考中心統計，考最多的觀念排最前面。

矩陣運算25 題答對率 62%
線性變換7 題答對率 50%

答對率為全國考生平均；低於 40% 以橙色標示，代表多數人在這裡失分，最值得花時間。

數學 · 課程大綱

學習目標

熟練矩陣的加減、係數積與乘法，並判斷乘法是否可行。
求二階方陣的反方陣，用它解二元一次方程組。
用矩陣表示旋轉、鏡射、伸縮等平面線性變換，並理解行列式與面積的關係。

核心概念

矩陣運算

先想一想： $A$ 是 $2\times3$ 、 $B$ 是 $3\times2$ ， $AB$ 和 $BA$ 的大小各是多少？ $AB$ 是 $2\times2$ 、 $BA$ 是 $3\times3$ ，所以 $AB\ne BA$ 很常見。

$A$ 為 $m\times n$ 、 $B$ 為 $n\times p$ 時 $AB$ 才能相乘，結果為 $m\times p$ ；是的第列與的第行的內積。

線性變換

平面上的線性變換可寫成 $\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ ；的兩行分別是與的像。

重要公式

公式	說明
$(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$

解題策略

乘法：先檢查大小是否相容，再逐項計算。
反方陣：先算行列式；為 $0$ 則不可逆。
連續變換：先做的矩陣放在右邊，例如「先 $B$ 後 $A$ 」為 $AB$ 。
求變換後的圖形：把頂點逐一代入矩陣，或用面積倍率 $|\det A|$ 。

看詳解

$A=\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}$ ，，。

看詳解

兩次旋轉等於旋轉 $90^\circ$ ： $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ ，結果為。

看詳解

面積 $=|\det A|\times1=|6-1|=5$ 。

常見錯誤

小試身手

計算 $\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$ 。

看詳解

$\begin{bmatrix}1\cdot0+2\cdot1&1\cdot1+2\cdot0\\3\cdot0+4\cdot1&3\cdot1+4\cdot0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\4&3\end{bmatrix}$ （右乘鏡射矩陣使兩行對調）。

對應課本章節

這單元怎麼考

學習目標

核心概念

矩陣運算

線性變換

重要公式

解題策略

常見錯誤

小試身手

觀念練習

矩陣運算

線性變換