動量與能量

學習目標

• 用 $J=F\Delta t=\Delta p$ 處理撞擊與緩衝。
• 判斷何時動量守恆、何時動能守恆，解一維碰撞。
• 用角動量守恆解釋轉速變化與克卜勒第二定律。
• 用功能定理與力學能守恆取代繁瑣的運動學計算。

先測一下

1. 接球時手往後收，為什麼比較不痛？
2. 完全非彈性碰撞中，動量、動能哪個守恆？
3. $2$ kg 物體從 $5$ m 高光滑斜面滑下，底端速率？（$g=10$）

看詳解

1. $\Delta p$ 一樣，延長 $\Delta t$ 使平均力變小。
2. 動量守恆，動能減少（且減少最多）。
3. $v=\sqrt{2gh}=10\ \mathrm{m/s}$，與斜面角度無關。

核心概念

動量與衝量

• $\vec p=m\vec v$；衝量 。- 圖下面積就是衝量。

看詳解

$\Delta p=0.5(6+8)=7\ \mathrm{kg\,m/s}$，$F=7/0.02=350$ N。

看詳解

$0$；$60\cdot2=40v$，$v=3\ \mathrm{m/s}$，向反方向。

碰撞

• 所有碰撞動量守恆；彈性碰撞動能也守恆；完全非彈性則撞後黏在一起。
• 一維彈性撞靜止物：$v_1'=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1$、。等質量交換速度。

看詳解

$v=12/3=4\ \mathrm{m/s}$；$K$ 從 $36$ J 變 $24$ J，損失 J。

角動量

• 質點的角動量 $L=mvr\sin\theta$；外力矩為零時角動量守恆。
• 對太陽而言引力指向太陽，力矩為零，所以行星 $r_1v_1=r_2v_2$（近日點與遠日點），就是克卜勒第二定律。

看詳解

$r_1v_1=r_2v_2$，。

功與動能

• $W=Fd\cos\theta$；功能定理：合力作的功 $=\Delta K$。
• 功率 $P=W/t=Fv$。發電題：水力功率 ，再乘效率。

看詳解

$P=1000\cdot30\cdot10\cdot160\cdot0.25=1.2\times10^7$ W MW。

位能與力學能守恆

• 重力位能 $U=mgh$（近地表）、$U=-\dfrac{GMm}{r}$（一般）；彈力位能 $\frac12kx^2$。

看詳解

合力 $\frac14mg$ 向下，動能增加 $\frac14mgh$；重力位能減少 ；電力向上 ，電位能增加 。這是 （答對率 33%）。

重要公式

解題策略

1. 短時間交互作用（碰撞、爆炸）→ 動量守恆。
2. 只問速率、高度、形變量，不問時間 → 能量。
3. 問力或時間 → 衝量或牛頓定律。
4. 多階段（擺下 → 碰撞 → 擺上）→ 切段，每段用對的守恆律。

混合練習

1. $m$ 以 $v$ 彈性撞靜止的 $3m$，撞後兩者速度？
2. $1$ kg 物體在粗糙地面以 $4\ \mathrm{m/s}$ 滑行 $2$ m 後停下，摩擦力？
3. 子彈 $m$ 射入懸掛沙袋 後上升 ，子彈初速？

看詳解

1. $v_1'=-\frac v2$、。

常見錯誤

小試身手

1. 113 分科物理 多選 15：電場中的能量（答對率 33%）
2. 110 指考物理 單選 7：擺球彈性碰撞（答對率 36%）
3. 挑戰題：108 學測自然 單選 56：發電功率（答對率 21%）

複習計畫