運動學

學習目標

• 從 $x$-$t$ 圖讀出速度（斜率），從 $v$-$t$ 圖讀出加速度（斜率）與位移（面積）。
• 用等加速度公式處理自由落體與鉛直拋射，注意初速方向。
• 把拋體運動拆成「水平等速 + 鉛直等加速」。
• 換到對方的坐標系，用相對速度解追趕與相遇。

先測一下

1. $v$-$t$ 圖上一條斜率為負、但位於 $v>0$ 區域的直線，物體在做什麼？
2. 從高處靜止落下 2 秒，落下多少距離？（$g=10\ \mathrm{m/s^2}$）
3. 水平拋出與靜止落下的兩球從同高度同時出發，誰先落地？

看詳解

1. 往正方向運動，但正在減速。
2. $\frac12gt^2=20$ m。
3. 同時。鉛直方向的運動完全相同，水平速度不影響落地時間。

核心概念

直線運動與運動圖

• 位移是「末位置 − 初位置」，路徑長是實際走的距離。平均速度 $=\Delta x/\Delta t$。
• $x$-$t$ 圖：切線斜率 = 瞬時速度。$v$-$t$ 圖：斜率 = 加速度，曲線下面積 = 位移（時間軸下方算負）。
• 等加速度：$v=v_0+at$、、。

看詳解

算梯形面積：$\frac12\cdot4\cdot8+2\cdot8+\frac12\cdot4\cdot8=16+16+16=48$ m。

看詳解

位移差 $1.0$ cm $=0.01$ m，$a=0.01/0.01=1\ \mathrm{m/s^2}$。

自由落體與鉛直拋射

• 取向上為正：$a=-g$。上升與下降經過同一高度時速率相同、方向相反。
• 從運動中的物體「放手」的東西，初速等於當時物體的速度，不是零。
• 有空氣阻力時，阻力隨速率增加，等於重力時達到終端速率；較重、截面積較小者終端速率較大。

看詳解

初速 $+5$，位移 $-100$：$v^2=5^2+2\cdot10\cdot100=2025$，。這是 （答對率 57%），常見錯誤是忘了初速。

拋體運動

• 水平：$x=v_0\cos\theta\,t$（等速）。鉛直：$y=v_0\sin\theta\,t-\frac12gt^2$。

看詳解

$45=5t^2$，$t=3$ s；水平距離 $20\cdot3=60$ m。

相對運動

• $\vec v_{A\text{對}B}=\vec v_A-\vec v_B$。在等速度的坐標系中，牛頓定律與等加速公式仍然成立。

看詳解

在單車坐標系：汽車以 $7\ \mathrm{m/s}$ 接近，要在 $24.5$ m 內停下：$7^2=2a\cdot24.5$，，即 。

重要公式

解題策略

1. 先定正方向，所有向量都帶正負號。
2. 給圖就用圖：斜率與面積常比套公式快。
3. 兩個物體互動時，先考慮換到其中一個的坐標系。
4. 拋體一律拆成兩個方向，用「時間」連接。

混合練習

1. 以 $20\ \mathrm{m/s}$ 鉛直上拋，最高點高度與回到手中的時間？
2. $v$-$t$ 圖 0~5 s 從 $10$ 降到 $-10\ \mathrm{m/s}$，位移與路徑長？
3. 以 $30^\circ$、 斜拋，射程？

看詳解

1. $H=\frac{400}{20}=20$ m，$T=4$ s。

常見錯誤

小試身手

1. 109 學測自然 單選 2：上升中放手（答對率 57%）
2. 110 學測自然 多選 59：終端速率（答對率 51%）
3. 112 分科物理 單選 6：拋體（答對率 36%）
4. 挑戰題：111 分科物理 單選 3：相對運動（答對率 30%）

複習計畫