學習目標
- 由焦點與準線的定義寫出拋物線，讀出頂點、焦點與正焦弦長。
- 由「到兩焦點距離和、差為定值」理解橢圓與雙曲線，寫出標準式。
- 讀出長軸、短軸、貫軸、漸近線等性質，並處理平移後的方程式。
核心概念
拋物線
先想一想：為什麼衛星天線做成拋物面？因為平行射入的訊號經拋物面反射後，都會集中在焦點。
- 定義：到焦點 F 與到準線 L 距離相等的點。
- 標準式 y2=4cx：頂點 (0,0)、焦點 (c,0)、準線 x=−c，正焦弦長 4∣c∣。
- x2=4cy：開口向上（c>0）或向下，焦點 (0,c)、準線 y。
- 平移：(y−k)2=4c(x−h)，頂點 (h,k)。
橢圓與雙曲線
橢圓
- 定義：PF1+PF2（）。
雙曲線
- 定義：PF1−（）。
重要公式
| 曲線 | 標準式 | 關係 |
|---|
| 拋物線 | y2=4cx | 焦點 (c,0)、準線 x=−c |
| 橢圓 | |
解題策略
- 先配方：一般式先配方成標準式，找出中心或頂點。
- 判斷方向：拋物線看哪個變數是一次；橢圓看分母較大者在哪個變數下（長軸方向）；雙曲線看正號在哪個變數。
- 用定義解題：與焦點距離有關的題目（例如三角形周長、最短路徑）直接用定義。
- 找 a,b,c：寫下它們的關係式，再求焦點、頂點、漸近線。
看詳解
4c=8，c=2。焦點 (2,0)、準線 、正焦弦長 。
看詳解
a=5、b=4，c=25。焦點 ，離心率 。
看詳解
由定義 AF1+AF、。
看詳解
a=3、b=4，c=9。焦點 ，漸近線 。
常見錯誤
小試身手
到點 (0,1) 與到直線 y=−1 距離相等的點，所成的曲線方程式為何？
看詳解
這是焦點 (0,1)、準線 y=−1 的拋物線，c=1，方程式為 。