如圖，機器人在地面上從一點 $P$ 出發，按照以下規則移動：先朝某方向前進一公尺後，依前進方向逆時針旋轉 $45^{\circ}$；朝新方向前進一公尺後，依前進方向順時針旋轉 $90^{\circ}$；再朝新方向前進一公尺後，依前進方向逆時針旋轉；再朝新方向前進一公尺後，依前進方向順時針旋轉 $90^{\circ}$，……，以此類推。已知機器人移動的路徑會形成一個封閉區域，則此封閉區域的面積為 。（化成最簡根式）