假設 $2$ 階方陣 $\left[{\begin{array}{l l}{a}&{b}\\ {c}&{d}\end{array}}\right]$ 所代表的線性變換將坐標平面上三點 $O(0,0)$, $A(1,0)$ , $B(0,1)$ 分別映射到 $O(0,0)$, $A^{\prime}(3,\sqrt{3})$ , $B^{\prime}(-\sqrt{3},3)$，並將與原點距離為 $1$ 的點 $C(x,y)$ 映射到點 $C^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$。試選出正確的選項。