坐標平面上，一個半徑為 $12$ 的圓與直線 $x+y=0$ 相交於兩點，且這兩點的距離為 $8$。若此圓與直線 $x+y=24$ 交於 $P$、$Q$ 兩點，則線段 $\overline{PQ}$ 的長度為 。（化成最簡根式）