在同一平面上，相距 $7$ 公里的 $A,B$兩砲台，$A$ 在 $B$ 的正東方。某次演習時，$A$ 向西偏北 $\theta$ 方向發射砲彈， $B$ 則向東偏北 $\theta$ 方向發射砲彈，其中 $\theta$ 為銳角，觀測回報兩砲彈皆命 中 $9$ 公里外的同一目標 $P$。接著 $A$ 改向西偏北 $\dfrac{\theta}{2}$ 方向發射砲彈，彈著點為 $9$ 公里外的點 $Q$ 。試問砲台 $B$ 與彈著點 $Q$ 的距離 $\overline{BQ}$ 為何？