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112-學測-數學A-題組-18~20

中等
坐標平面上 OO 為原點，給定 A(1,0)A(1,0)、B(−2,0)B(-2,0)兩點。另有兩點 PP、QQ 在上半平面， 且滿足AP‾=OA‾\overline{AP} =\overline{OA}、BQ‾=OB‾\overline{BQ} =\overline{OB}、∠POQ\angle POQ 為直角，如圖所示。令 ∠AOP=θ\angle AOP = \theta。根據上述， 試回答下列問題。 image.png
線段 OP‾\overline {OP} 長為下列哪一選項？（單選題）
提示 1查看提示

設 OP=rOP=r，把 PP 寫成 (rcos⁡θ,rsin⁡θ)(r\cos\theta,r\sin\theta)。

提示 2查看提示

使用 AP=OA=1AP=OA=1。

若 sin⁡θ=35\sin\theta=\Large\frac{3}{5}，試求點 QQ 的坐標 (( ,, ))，並說明 BQ→=2AP→\overrightarrow{BQ} = 2\overrightarrow{AP}。
提示 1查看提示

先由第 18 題得到 P=(2cos⁡2θ,2sin⁡θcos⁡θ)P=(2\cos^2\theta,2\sin\theta\cos\theta)。

提示 2查看提示

令 QQ 在與 OPOP 垂直且向上的射線上，再用 BQ=2BQ=2。

（承19題）試求點 AA 到直線 BQBQ 的距離：，並求四邊形 PABQPABQ 的面積：。（非選擇題）
提示 1查看提示

承上題，用 BQ→=(14/25,48/25)\overrightarrow{BQ}=(14/25,48/25) 算點到直線的距離。

提示 2查看提示

由 BQ→=2AP→\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{AP} 可知 PABQPABQ 是梯形。