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111-分科測驗-數學A-題組-15-17

    ~~~~考慮坐標平面上之向量 a→\overrightarrow{a}、b→\overrightarrow{b} 滿足 ∣ a→ ∣+∣ b→ ∣=9|~\overrightarrow{a}~| + |~\overrightarrow{b}~|=9 以及 ∣ a→−b→ ∣=7|~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}~|=7。若令 ∣ a→ ∣=x|~\overrightarrow{a}~|=x，其中 1<x<81<x<8，且令 a→\overrightarrow{a}、b→\overrightarrow{b} 的夾角為 θ\theta，則利用向量 a→\overrightarrow{a}、b→\overrightarrow{b}、a→−b→\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} 所形成的三角形，可將 cos⁡θ\cos{\theta} 以 xx 表示成 c9x−x2+d{\dfrac{c}{9x-x^{2}}}+d，其中 cc、dd 為常數且 c>0c>0。令此表示式為 f(x)f(x)，且其定義域為 {x∣1<x<8}\{x\mid1\lt x\lt 8\}。試回答下列問題。
求 f(x)f(x) 及其導函數 f′(x)=f^{\prime}(x)= 。
提示 查看提示

第三邊長是 7，另外兩邊是 xx、9−x9-x；用餘弦定理求 cos⁡θ\cos\theta。

說明 f(x)f(x) 在定義域中遞增、遞減的情況。並說明 xx 為多少時 a→\overrightarrow a†、b→\overrightarrow b† †的夾角 θ\theta 最大。

xx 為 時 a→\overrightarrow a†、b→\overrightarrow b† †的夾角 θ\theta 最大
說明：
提示 1查看提示

導數的分母恆正；只需看 2x−92x-9 的正負。

提示 2查看提示

角度最大時，cos⁡θ\cos\theta 要最小。

利用 f(x)f(x) 的一次估計（一次近似），求當 x=4.96x=4.96 時，cos⁡θ\cos \theta 約為多少？
提示 1查看提示

選接近 4.96 且易計算的基準點 x=5x=5。

提示 2查看提示

使用 f(5)+f′(5)(4.96−5)f(5)+f^\prime(5)(4.96-5)。

送出前，你對答案有多大把握？

可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。