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108-學測-數學 | Arete（艾睿）
108-學測-數學
中等
共 20 題
滿分 100 分
0
0
第 1 題
已作答 0/20
作答時間
00:00
交卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
點
A
(
1
,
0
)
A(1,0)
A
(
1
,
0
)
在單位圓上
Γ
:
x
2
+
y
2
=
1
\Gamma: x^2+y^2=1
Γ
:
x
2
+
y
2
=
1
。試問：
Γ
\Gamma
Γ
上除了
A
A
A
點以外，還有幾個點到直線
L
:
y
=
2
x
L:y=2x
L
:
y
=
2
x
的距離，等於
A
A
A
點到
L
L
L
的距離？
A
1 個
B
2 個
C
3 個
D
4 個
E
0 個
下列哪一個選項是方程式
x
3
−
x
2
+
4
x
−
4
=
0
x^{3}-x^{2}+4x-4=0
x
3
−
x
2
+
4
x
−
4
=
0
的解？（註：
i
=
−
1
i={\sqrt{-1\,}}
i
=
−
1
）
A
−
2
i
-2i
−
2
i
B
−
i
-i
−
i
C
i
i
i
D
2
2
2
E
3
3
3
試問共有多少組正整數
(
k
,
m
,
n
)
(k,m,n)
(
k
,
m
,
n
)
滿足
2
k
4
m
8
n
=
512
2^k4^m8^n=512
2
k
4
m
8
n
=
512
？
A
1 組
B
2 組
C
3 組
D
4 組
E
0 組
廚師買了豬、雞、牛三種肉類食材以及白菜、豆腐、香菇三種素類食材。若廚師想用完這六種食材作三道菜，每道菜可以只用一種食材或用多種食材，但每種食材只能使用一次，且每道菜一定要有肉，試問食材的分配共有幾種方法？
A
3
B
6
C
9
D
18
E
27
設正實數
b
b
b
滿足
(
log
100
)
(
log
b
)
+
log
100
+
log
b
=
7
(\log100)(\log b)+\log100+\log b=7
(
lo
g
100
)
(
lo
g
b
)
+
lo
g
100
+
lo
g
b
=
7
。試選出正確的選項。
A
1
≤
b
≤
10
1\leq b\leq\sqrt{10}
1
≤
b
≤
10
B
10
≤
b
≤
10
{\sqrt{10}}\leq b\leq10
10
≤
b
≤
10
C
10
≤
b
≤
10
10
10\leq b\leq10\sqrt{10}
10
≤
b
≤
10
10
D
10
10
≤
b
≤
100
10\sqrt{10}\leq b\leq100
10
10
≤
b
≤
100
E
100
≤
b
≤
100
10
100\leq b\leq100{\sqrt{10}}
100
≤
b
≤
100
10
某超商依據過去的銷售紀錄，冬天平均氣溫在 6℃ 到 24℃ 時，每日平均售出的咖啡數量與當天的平均氣溫之相關係數為
−
0.99
-0.99
−
0.99
，部分紀錄如下表。
某日平均氣溫為 8℃，依據上述資訊推測，試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個選項？
A
570 杯
B
625 杯
C
700 杯
D
755 杯
E
800 杯
設各項都是實數的等差數列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
a_{1},a_{2},a_{3},\cdots
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯
之公差為正實數
α
\alpha
α
。試選出正確的選項。
A
若
b
n
=
−
a
n
b_{n}=-a_{n}
b
n
=
−
a
n
，則
b
1
>
b
2
>
b
3
>
⋯
b_{1}\gt b_{2}\gt b_{3}\gt \cdots
b
1
>
b
2
>
b
3
>
⋯
B
若
c
n
=
a
n
2
c_{n}=a_{n}^{2}
c
n
=
a
n
2
，則
c
1
<
c
2
<
c
3
<
⋯
c_{1}\lt c_{2}\lt c_{3}\lt \cdots
c
1
<
c
2
<
c
3
<
⋯
C
若
d
n
=
a
n
+
a
n
+
1
d_{n}=a_{n}+a_{n+1}
d
n
=
a
n
+
a
n
+
1
，則
d
1
,
d
2
,
d
3
,
⋯
d_{1},d_{2},d_{3},\cdots
d
1
,
d
2
,
d
3
,
⋯
是公差為
α
\alpha
α
的等差數列
D
若
e
n
=
a
n
+
n
e_n=a_n+n
e
n
=
a
n
+
n
，則
e
1
,
e
2
,
e
3
,
⋯
e_{1},e_{2},e_{3},\cdots
e
1
,
e
2
,
e
3
,
⋯
是公差為
α
+
1
\alpha+1
α
+
1
的等差數列
E
若
f
n
{\mathit{f_{n}}}
f
n
為
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
a_{1},a_{2},\cdots,a_n
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
的算術平均數，則
f
1
,
f
2
,
f
3
,
⋯
f_{1},f_{2},f_{3},\cdots
f
1
,
f
2
,
f
3
,
⋯
是公差為
α
\alpha
α
的等差數列
在數線上，甲從點
−
8
-8
−
8
開始做等速運動，同時乙也從點
10
10
10
開始做等速運動，乙移動的速率是甲的
a
a
a
倍，且
a
>
1
a>1
a
>
1
。試選出正確的選項。
A
若甲朝負向移動而乙朝正向移動，則他們會相遇
B
若甲朝負向移動且乙朝負向移動，則他們不會相遇
C
若甲朝正向移動而乙朝負向移動，則乙先到達原點
0
0
0
D
若甲朝正向移動且乙朝正向移動，則他們之間的距離會越來越大
E
若甲朝正向移動而乙朝負向移動，且他們在點
−
2
-2
−
2
相遇，則
a
=
2
a=2
a
=
2
從
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
這七個數字中隨機任取兩數。試選出正確的選項。
A
其和大於
10
10
10
的機率為
1
7
\large\frac{1}{7}
7
1
B
其和小於
5
5
5
的機率為
1
7
\large\frac{1}{7}
7
1
C
其和為奇數的機率為
4
7
\large\frac{4}{7}
7
4
D
其差為偶數的機率為
5
7
\large\frac{5}{7}
7
5
E
其積為奇數的機率為
2
7
\large\frac{2}{7}
7
2
在
Δ
A
B
C
\Delta A B C
Δ
A
BC
中，已知
5
0
∘
≤
∠
A
<
∠
B
≤
6
0
∘
50^{\circ}\leq\angle A\lt \angle B\leq60^{\circ}
5
0
∘
≤
∠
A
<
∠
B
≤
6
0
∘
。試選出正確的選項。
A
sin
A
<
sin
B
\sin A\lt \sin B
sin
A
<
sin
B
B
sin
B
<
sin
C
\sin B\lt \sin C
sin
B
<
sin
C
C
cos
A
<
cos
B
\cos A\lt \cos B
cos
A
<
cos
B
D
sin
C
<
cos
C
\sin C\lt \cos C
sin
C
<
cos
C
E
A
B
‾
<
B
C
‾
{\overline{AB}}\lt {\overline{BC}}
A
B
<
BC
某地區衛生機構成功訪問了
500
500
500
人，其中年齡為
50
−
59
50-59
50
−
59
歲及
60
60
60
歲（含）以上者分別有
220
220
220
名及
280
280
280
名。這
500
500
500
名受訪者中，
120
120
120
名曾做過大腸癌篩檢，其中有
75
75
75
名是在一年之前做的，有
45
45
45
名是在一年之內做的。已知受訪者中，
60
60
60
歲（含）以上者曾做過大腸癌篩檢比率是
50
−
59
50-59
50
−
59
歲者曾做過大腸癌篩檢比率的
3.5
3.5
3.5
倍。試選出正確的選項。
A
受訪者中年齡為
60
60
60
歲（含）以上者超過
60
%
60 \%
60%
B
由受訪者中隨機抽取兩人，此兩人的年齡皆落在
50
−
59
50-59
50
−
59
歲間的機率大於
0.25
0.25
0.25
C
由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人，其中一人在一年之內受檢而另一人在一年之前受檢的機率為
2
⋅
(
45
120
)
(
75
119
)
2\cdot(\large\frac{45}{120})(\large\frac{75}{119})
2
⋅
(
120
45
)
(
119
75
)
D
這
500
500
500
名受訪者中，未曾做過大腸癌篩檢的比率低於
75
%
75\%
75%
E
受訪者中歲
60
60
60
（含）以上者，曾做過大腸癌篩檢的人數超過
90
90
90
名
設
f
1
(
x
)
,
f
2
(
x
)
f_{1}(x),\ f_{2}(x)
f
1
(
x
)
,
f
2
(
x
)
為實係數三次多項式，
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
為實係數二次多項式。已知
f
1
(
x
)
,
f
2
(
x
)
f_{1}(x),\ f_{2}(x)
f
1
(
x
)
,
f
2
(
x
)
除以
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的餘式分別為
r
1
(
x
)
,
r
2
(
x
)
r_{1}(x),\ r_{2}(x)
r
1
(
x
)
,
r
2
(
x
)
。試選出正確的選項。
A
−
f
1
(
x
)
-f_{1}(x)
−
f
1
(
x
)
除以
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的餘式為
−
r
1
(
x
)
-r_1(x)
−
r
1
(
x
)
B
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
f_{1}(x)+f_{2}(x)
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
除以
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的餘式為
r
1
(
x
)
+
r
2
(
x
)
r_{1}(x)+r_{2}(x)
r
1
(
x
)
+
r
2
(
x
)
C
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
f_{1}(x)\,f_{2}(x)
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
除以
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的餘式為
r
1
(
x
)
r
2
(
x
)
r_{1}(x)r_{2}(x)
r
1
(
x
)
r
2
(
x
)
D
f
1
(
x
)
f_1(x)
f
1
(
x
)
除以
−
3
g
(
x
)
-3g(x)
−
3
g
(
x
)
的餘式為
−
1
3
r
1
(
x
)
{\large\frac{-1}{3}}r_{1}(x)
3
−
1
r
1
(
x
)
E
f
1
(
x
)
r
2
(
x
)
−
f
2
(
x
)
r
1
(
x
)
f_{1}(x)r_{2}(x)-f_{2}(x)r_{1}(x)
f
1
(
x
)
r
2
(
x
)
−
f
2
(
x
)
r
1
(
x
)
可被
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
整除
坐標空間中有一平面
P
P
P
過
(
0
,
0
,
0
)
,
(
1
,
2
,
3
)
(0,0,0)\;,\;(1,2,3)
(
0
,
0
,
0
)
,
(
1
,
2
,
3
)
及
(
−
1
,
2
,
3
)
(-1,2,3)
(
−
1
,
2
,
3
)
三點。試選出正確的選項。
A
向量
(
0
,
3
,
2
)
(0,3,2)
(
0
,
3
,
2
)
與平面
P
P
P
垂直
B
平面
P
P
P
與平面
x
y
xy
x
y
垂直
C
點
(
0
,
4
,
6
)
(0,4,6)
(
0
,
4
,
6
)
在平面
P
P
P
上
D
平面
P
P
P
包含
x
x
x
軸
E
點
(
1
,
1
,
1
)
(1,1,1)
(
1
,
1
,
1
)
到平面
P
P
P
的距離是
1
1
1
設
x
,
y
x,y
x
,
y
為實數，且滿足
[
3
−
1
3
2
4
−
1
]
[
x
y
1
]
=
[
6
−
6
]
\left[{\begin{array}{r r r}{3}&{-1}&{3}\\ {2}&{4}&{-1}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}{x}\\ {y}\\ {1}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}{6}\\ {-6}\end{array}}\right]
[
3
2
−
1
4
3
−
1
]
x
y
1
=
[
6
−
6
]
，則
x
+
3
y
=
x+3y=
x
+
3
y
=
。
如圖
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A
,
B
,
C
,
D
（此為示意圖），是橢圓
x
2
a
2
+
y
2
16
=
1
{\frac{x^{2}}{a^{2}}}+{\frac{y^{2}}{16}}=1
a
2
x
2
+
16
y
2
=
1
的頂點。若四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
BC
D
的面積為
58
58
58
，則
a
=
a=
a
=
。（化為最簡分數）
某高中已有一個長
90
90
90
公尺、寬
60
60
60
公尺的足球練習場。若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長度為
400
400
400
公尺的跑道，跑道規格為左右兩側各是直徑相同的半圓，而中間是上下各一條的直線跑道，直線跑道與足球練習場的長邊平行（如示意圖）。則圖中一條直線跑道
A
B
‾
\overline {AB}
A
B
長度的最大可能整數值為
公尺。
某次選舉中進行甲、乙、丙三項公投案，每項公投案一張選票，投票人可選擇領或不領。投票結束後清點某投票所的選票，發現甲案有
765
765
765
人領票、乙案有
537
537
537
人領票、丙案有
648
648
648
人領票，同時領甲、乙、丙三案公投票的有
224
224
224
人，並且每個人都至少領了兩張公投票。根據以上資訊，可知同時領甲、乙兩案但沒有領丙案公投票者共有
人。
如圖（此為示意圖），在
Δ
A
B
C
\Delta A B C
Δ
A
BC
中，
A
D
‾
{\overline{{A D}}}
A
D
交
B
C
‾
\overline{{B C}}
BC
於
D
D
D
點，
B
E
‾
\overline {BE}
BE
交
A
D
‾
\overline {AD}
A
D
於
E
E
E
點，且
∠
A
C
B
=
3
0
∘
\angle A C B=30^{\circ}
∠
A
CB
=
3
0
∘
，
∠
E
D
B
=
6
0
∘
\angle E D B=60^{\circ}
∠
E
D
B
=
6
0
∘
，
∠
A
E
B
=
12
0
∘
\angle A E B=120^{\circ}
∠
A
EB
=
12
0
∘
。若
C
D
‾
=
15
\overline{CD}=15
C
D
=
15
，
E
D
‾
=
7
\overline{ED}=7
E
D
=
7
，則
A
B
‾
=
\overline{AB}=
A
B
=
。
坐標空間中，考慮有一個頂點在平面
z
=
0
z=0
z
=
0
上、且有另一個頂點在平面
z
=
6
z=6
z
=
6
上的正立方體。則滿足前述條件的正立方體之邊長最小可能值為
。（化成最簡根式）
如圖（此為示意圖），
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A
,
B
,
C
,
D
為平面上的四個點。已知
B
C
→
=
A
B
→
+
A
D
→
\overrightarrow{{{B C}}}=\overrightarrow{{{A B}}}+\overrightarrow{{{A D}}}
BC
=
A
B
+
A
D
，
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
、
B
D
→
\overrightarrow{BD}
B
D
兩向量等長且互相垂直，則
tan
∠
B
A
D
=
\tan\angle B A D=
tan
∠
B
A
D
=
。
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