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109-學測-數學 | Arete（艾睿）
109-學測-數學
中等
共 20 題
滿分 100 分
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第 1 題
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作答時間
00:00
交卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
已知兩個直角三角形三邊長分別為
3
,
4
,
5
3,4,5
3
,
4
,
5
、
5
,
12
,
13
5,12,13
5
,
12
,
13
，
α
,
β
\alpha, \beta
α
,
β
分別為它們的一角，如下圖所示。試選出正確的選項。
A
sin
α
>
sin
β
>
sin
3
0
∘
\sin\alpha\gt {\sin\beta}\gt \sin30^{\circ}
sin
α
>
sin
β
>
sin
3
0
∘
B
sin
α
>
sin
3
0
∘
>
sin
β
\sin\alpha\gt \sin30^{\circ}\gt {\sin\beta}
sin
α
>
sin
3
0
∘
>
sin
β
C
sin
β
>
sin
α
>
sin
3
0
∘
\sin\beta\gt \sin\alpha\gt \sin30^{\circ}
sin
β
>
sin
α
>
sin
3
0
∘
D
sin
β
>
sin
3
0
∘
>
sin
α
\sin\beta\gt \sin30^{\circ}\gt \sin\alpha
sin
β
>
sin
3
0
∘
>
sin
α
E
sin
β
>
sin
3
0
∘
>
sin
α
\sin\beta\gt \sin30^{\circ}\gt \sin\alpha
sin
β
>
sin
3
0
∘
>
sin
α
空間中有相異四點
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A
,
B
,
C
,
D
，已知內積
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
→
⋅
A
D
→
\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD}
A
B
⋅
A
C
=
A
B
⋅
A
D
。試選出正確的選項。
A
A
B
→
⋅
C
D
→
=
0
{\overrightarrow{{A B}}}\cdot{\overrightarrow{{C D}}}=0
A
B
⋅
C
D
=
0
B
A
C
‾
=
A
D
‾
{\overline{{A C}}}={\overline{{A D}}}
A
C
=
A
D
C
A
B
→
\overrightarrow {AB}
A
B
與
C
D
→
\overrightarrow {CD}
C
D
平行
D
A
D
→
⋅
B
C
→
=
0
{\overrightarrow{{AD}}}\cdot{\overrightarrow{{BC}}}=0
A
D
⋅
BC
=
0
E
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A
,
B
,
C
,
D
四點在同一平面上
如圖所示，
O
O
O
為正六邊形之中心。試問下列哪個向量的終點
P
P
P
落在
Δ
O
D
E
\Delta ODE
Δ
O
D
E
內部（不含邊界）？
A
O
P
→
=
O
C
→
+
O
E
→
{\overrightarrow {{O P}}}={\overrightarrow {{O C}}}+{\overrightarrow {{O E}}}
OP
=
OC
+
OE
B
O
P
→
=
1
4
O
C
→
+
1
2
O
E
→
\overrightarrow{{{O P}}}=\,\large\frac{1}{4}\normalsize\overrightarrow{{{O C}}}+\,\large\frac{1}{2}\normalsize\overrightarrow{{{O E}}}
OP
=
4
1
OC
+
2
1
OE
C
O
P
→
=
−
1
4
O
C
→
+
1
2
O
E
→
\overrightarrow{{{O P}}}=\,-\large\frac{1}{4}\,\normalsize\overrightarrow{{{O C}}}+\,\large\frac{1}{2}\,\normalsize\overrightarrow{{{O E}}}
OP
=
−
4
1
OC
+
2
1
OE
D
O
P
→
=
1
4
O
C
→
−
1
2
O
E
→
{\overrightarrow{{O P}}}={\large\frac{1}{4}}{\overrightarrow{{O C}}}-{\large\frac{1}{2}}{\overrightarrow{{O E}}}
OP
=
4
1
OC
−
2
1
OE
E
O
P
→
=
−
1
4
O
C
→
−
1
2
O
E
→
\overrightarrow{{{O P}}}=\,-\large\frac{1}{4}\normalsize\,\overrightarrow{{{O C}}}-\,\large\frac{1}{2}\\\overrightarrow{{{O E}}}
OP
=
−
4
1
OC
−
2
1
OE
令
I
=
[
1
0
0
1
]
I=\left[\begin{array}{c c}{{1}}&{{0}}\\ {{0}}&{{1}}\end{array}\right]
I
=
[
1
0
0
1
]
，
A
=
[
1
1
3
4
]
A={\left[\begin{array}{l l}{1}&{1}\\ {3}&{4}\end{array}\right]}
A
=
[
1
3
1
4
]
，
B
=
I
+
A
+
A
−
1
B=I+A+A^{-1}
B
=
I
+
A
+
A
−
1
，試選出
B
A
BA
B
A
代表的選項。
A
[
1
0
0
1
]
\left[{\begin{array}{r r}{1}&{0}\\ {0}&{1}\end{array}}\right]
[
1
0
0
1
]
B
[
6
0
0
6
]
\left[{\begin{array}{r r}{6}&{0}\\ {0}&{6}\end{array}}\right]
[
6
0
0
6
]
C
[
4
−
1
−
3
1
]
\left[{\begin{array}{r r}{4}&{-1}\\ {-3}&{1}\end{array}}\right]
[
4
−
3
−
1
1
]
D
[
1
1
3
4
]
\left[{\begin{array}{r r}{1}&{1}\\ {3}&{4}\end{array}}\right]
[
1
3
1
4
]
E
[
6
6
18
24
]
\left[{\begin{array}{r r}{6}&{6}\\ {18}&{24}\end{array}}\right]
[
6
18
6
24
]
試問數線上有多少個整數點與點
101
\sqrt{101}
101
的距離小於 5，但與點
38
\sqrt{38}
38
的距離大於 3？
A
1 個
B
4 個
C
6 個
D
8 個
E
10 個
連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為
a
,
b
a,b
a
,
b
。試問發生
log
(
a
2
)
+
log
b
>
1
\log\left(a^{2}\right)+\log b\gt 1
lo
g
(
a
2
)
+
lo
g
b
>
1
的機率為多少？
A
1
3
\large\frac{1}{3}
3
1
B
1
2
\large\frac{1}{2}
2
1
C
2
3
\large\frac{2}{3}
3
2
D
3
4
\large\frac{3}{4}
4
3
E
5
6
\large\frac{5}{6}
6
5
坐標平面上，函數圖形
y
=
−
3
x
3
y=-{\sqrt{3}}x^{3}
y
=
−
3
x
3
上有兩點
P
,
Q
P,Q
P
,
Q
到原點距離皆為 1。已知點
P
P
P
坐標為
(
cos
θ
,
sin
θ
)
(\cos\theta,\sin\theta)
(
cos
θ
,
sin
θ
)
，試問點
Q
Q
Q
坐標為何？
A
(
cos
(
−
θ
)
,
sin
(
−
θ
)
)
\left(\cos(-\theta),\sin(-\theta)\right)
(
cos
(
−
θ
)
,
sin
(
−
θ
)
)
B
(
−
cos
θ
,
sin
θ
)
\left(-\cos\theta,\sin\theta\right)
(
−
cos
θ
,
sin
θ
)
C
(
cos
(
−
θ
)
,
−
sin
θ
)
\left(\cos(-\theta),-\sin{\theta}\right)
(
cos
(
−
θ
)
,
−
sin
θ
)
D
(
−
cos
θ
,
sin
(
−
θ
)
)
\left(-\cos\theta,\sin(-\theta)\right)
(
−
cos
θ
,
sin
(
−
θ
)
)
E
(
cos
θ
,
−
sin
θ
)
\left(\cos\theta,-\sin\theta\right)
(
cos
θ
,
−
sin
θ
)
有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（A）或（B）兩個條件之一，可得到獎金 100 元；若兩個條件都滿足，則共得 200 元獎金；若兩個條件都不滿足，則無獎金。
（A）三個點數皆為奇數或者皆為偶數
（B）三個點數由小排到大為等差數列
若已知有兩顆骰子的點數分別為 1,3，且所得獎金為 100 元，則未知的骰子點數可能為何？
A
2
B
3
C
4
D
5
E
6
在坐標平面上，有一通過原點
O
O
O
的直線
L
L
L
，以及一半徑為 2、圓心為原點
O
O
O
的圓
Γ
\Gamma
Γ
。
P
,
Q
P,Q
P
,
Q
為
Γ
\Gamma
Γ
上相異 2 點，且
O
P
‾
,
O
Q
‾
{\overline{OP}},{\overline{OQ}}
OP
,
OQ
分別與
L
L
L
所夾的銳角皆為
3
0
∘
30^{\circ}
3
0
∘
，試選出內積
O
P
→
⋅
O
Q
→
{\overrightarrow{{O P}}}\cdot{\overrightarrow{{O Q}}}
OP
⋅
OQ
之值可能發生的選項。
A
2
3
2{\sqrt{3}}
2
3
B
−
2
3
-2{\sqrt{3}}
−
2
3
C
0
D
-2
E
-4
考慮多項式
f
(
x
)
=
3
x
4
+
11
x
2
−
4
f(x)=3x^{4}+11x^{2}-4
f
(
x
)
=
3
x
4
+
11
x
2
−
4
，試選出正確的選項。
A
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形和y軸交點的y坐標小於0
B
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f
(
x
)
=
0
有 4 個實根
C
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f
(
x
)
=
0
至少有一個有理根
D
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f
(
x
)
=
0
有一根介於 0 與 1 之間
E
f
(
x
)
=
0
f(x)=0
f
(
x
)
=
0
有一根介於 1 與 2 之間
設
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
為實數且滿足
log
a
=
1.1
\log a=1.1
lo
g
a
=
1.1
、
log
b
=
2.2
\log b=2.2
lo
g
b
=
2.2
、
log
c
=
3.3
\log c=3.3
lo
g
c
=
3.3
。試選出正確的選項。
A
a
+
c
=
2
b
a+c=2b
a
+
c
=
2
b
B
1
<
a
<
10
1<a<10
1
<
a
<
10
C
1000
<
c
<
2000
1000\lt c\lt 2000
1000
<
c
<
2000
D
1000
<
c
<
2000
1000\lt c\lt 2000
1000
<
c
<
2000
E
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
成等比數列
下表是 2011 年至 2018 年某國總就業人口與農業就業人口的部分相關數據，各年度的人口以人數計，有些是以千人計，有些以萬人計，例如 2011 年總就業人口為 1,070.9 萬人，65 歲以上男性農業就業人口為 69.1 千人。試根據表格資料選出正確的選項。
A
從 2013 年至 2018 年，65 歲以上的男性農業就業人口逐年遞增
B
從 2013 年至 2018 年，50 歲至 64 歲之男性農業就業人口逐年遞增
C
上表中，每一年的男性農業就業人口占總就業人口的比率都小於百分之五
D
上表中，每一年 50 歲至 64 歲之男性農業就業人口都少於 49 歲以下之男性農業就業人口
E
就 65 歲以上之男性農業就業人口而言，2018 年比 2011 年增加了不到一萬人
如示意圖，四面體
O
A
B
C
OABC
O
A
BC
中，
Δ
O
A
B
\Delta OAB
Δ
O
A
B
和
Δ
O
A
C
\Delta OAC
Δ
O
A
C
均為正三角形，
∠
B
O
C
=
3
0
∘
\angle B O C=30^{\circ}
∠
BOC
=
3
0
∘
。試選出正確的選項。
A
B
C
‾
>
O
C
‾
\overline{{B C}}\gt \overline{{O C}}
BC
>
OC
B
Δ
O
B
C
\Delta OBC
Δ
OBC
是等腰三角形
C
Δ
O
B
C
\Delta OBC
Δ
OBC
的面積大於
Δ
O
A
B
\Delta OAB
Δ
O
A
B
的面積
D
∠
C
A
B
=
3
0
∘
\angle C A B=30^{\circ}
∠
C
A
B
=
3
0
∘
E
平面
O
A
B
OAB
O
A
B
和平面
O
A
C
OAC
O
A
C
的夾角（以銳角計）小於
3
0
∘
30^{\circ}
3
0
∘
網路賣家以200元的成本取得某件模型，並以成本的5倍作為售價，差價即為利潤。但過了一段時間無人問津，因此賣家決定以逐次減少一半利潤的方式調降售價。若依此方式進行，則調降三次後該模型的售價為
元。
有一按鈕遊戲機，每投幣一枚，可按遊戲機三次。第一次按下會出現黑色或白色的機率各為
1
2
\large\frac{1}{2}
2
1
；第二或第三次按下，出現與前一次同色的機率為
1
3
\large\frac{1}{3}
3
1
，不同色的機率為
2
3
\large\frac{2}{3}
3
2
。今某甲投幣一枚後，按三次均出現同色的機率為
。（化為最簡分數）
設
S
S
S
為坐標平面上直線
2
x
+
y
=
10
2x+y=10
2
x
+
y
=
10
被平行線
x
−
2
y
+
15
=
0
x-2y+15=0
x
−
2
y
+
15
=
0
與
x
−
2
y
=
0
x-2y=0
x
−
2
y
=
0
所截的線段（含端點）。若直線
3
x
−
y
=
c
3x-y=c
3
x
−
y
=
c
與
S
S
S
有交點，則
c
c
c
的最小值為
。
平面上有一箏形
A
B
C
D
ABCD
A
BC
D
，其中
A
B
‾
=
B
C
‾
=
2
{\overline{{A B}}}={\overline{{B C}}}={\sqrt{2}}
A
B
=
BC
=
2
，
A
D
‾
=
C
D
‾
=
2
{\overline{{A D}}}={\overline{{C D}}}=2
A
D
=
C
D
=
2
，
∠
B
A
D
=
13
5
∘
\angle B A D=135^{\circ}
∠
B
A
D
=
13
5
∘
。
則
A
C
‾
=
\overline{AC}=
A
C
=
（化為最簡根式）
空間中有三點
A
(
1
,
7
,
2
)
A(1,7,2)
A
(
1
,
7
,
2
)
、
B
(
2
,
−
6
,
3
)
B(2,-6,3)
B
(
2
,
−
6
,
3
)
、
C
(
0
,
−
4
,
1
)
C(0,-4,1)
C
(
0
,
−
4
,
1
)
。若直線
L
L
L
通過
A
A
A
點並與直線
B
C
BC
BC
相交且垂直，則
L
L
L
和
B
C
BC
BC
直線的交點坐標為
(
(
(
,
,
,
,
,
,
)
)
)
。
坐標平面上有一條拋物線
Γ
\Gamma
Γ
，其上有四個點構成等腰梯形，且等腰梯形的對稱軸與
Γ
\Gamma
Γ
的對稱軸重合。已知該等腰梯形的上底為 4、下底為 6、高為 14，則
Γ
\Gamma
Γ
的焦距為
。（化為最簡分數）
設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧
Q
R
T
QRT
QRT
是一個以
O
O
O
點為圓心、
Q
T
‾
\overline {QT}
QT
為直徑的半圓，
Q
T
‾
=
2
3
\overline {QT} = 2\sqrt{3}
QT
=
2
3
。圓弧
Q
S
T
QST
QST
的圓心在
P
P
P
點，
P
Q
‾
=
P
T
‾
=
2
\overline{PQ}=\overline{PT}=2
PQ
=
PT
=
2
。圓弧
Q
R
T
QRT
QRT
與圓弧
Q
S
T
QST
QST
所圍出的灰色區域
Q
R
T
S
Q
QRTSQ
QRTSQ
即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為
a
π
+
b
a\pi+\sqrt{b}
aπ
+
b
，其中
π
\pi
π
為圓周率，
a
a
a
為有理數，
b
b
b
為整數，則
a
=
a=
a
=
（化為最簡分數），
b
=
b=
b
=
。
上一題
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