已知兩個直角三角形三邊長分別為 $3,4,5$、$5,12,13$， $\alpha, \beta$ 分別為它們的一角，如下圖所示。試選出正確的選項。

空間中有相異四點 $A,B,C,D$ ，已知內積 $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD}$。試選出正確的選項。

如圖所示，$O$ 為正六邊形之中心。試問下列哪個向量的終點 $P$ 落在 $\Delta ODE$ 內部（不含邊界）？

令 $I=\left[\begin{array}{c c}{{1}}&{{0}}\\ {{0}}&{{1}}\end{array}\right]$，$A={\left[\begin{array}{l l}{1}&{1}\\ {3}&{4}\end{array}\right]}$，$B=I+A+A^{-1}$，試選出 $BA$ 代表的選項。

試問數線上有多少個整數點與點 $\sqrt{101}$ 的距離小於 5，但與點 $\sqrt{38}$ 的距離大於 3？

連續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為 $a,b$。試問發生 $\log\left(a^{2}\right)+\log b\gt 1$ 的機率為多少？

坐標平面上，函數圖形 $y=-{\sqrt{3}}x^{3}$ 上有兩點 $P,Q$ 到原點距離皆為 1。已知點 $P$ 坐標為 $(\cos\theta,\sin\theta)$，試問點 $Q$ 坐標為何？

有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（A）或（B）兩個條件之一，可得到獎金 100 元；若兩個條件都滿足，則共得 200 元獎金；若兩個條件都不滿足，則無獎金。
（A）三個點數皆為奇數或者皆為偶數
（B）三個點數由小排到大為等差數列
若已知有兩顆骰子的點數分別為 1,3，且所得獎金為 100 元，則未知的骰子點數可能為何？

在坐標平面上，有一通過原點 $O$ 的直線 $L$，以及一半徑為 2、圓心為原點 $O$ 的圓 $\Gamma$。$P,Q$ 為 $\Gamma$ 上相異 2 點，且 ${\overline{OP}},{\overline{OQ}}$ 分別與 $L$ 所夾的銳角皆為 $30^{\circ}$，試選出內積 ${\overrightarrow{{O P}}}\cdot{\overrightarrow{{O Q}}}$ 之值可能發生的選項。

考慮多項式 $f(x)=3x^{4}+11x^{2}-4$，試選出正確的選項。

設 $a,b,c$ 為實數且滿足 $\log a=1.1$、$\log b=2.2$、$\log c=3.3$。試選出正確的選項。

下表是 2011 年至 2018 年某國總就業人口與農業就業人口的部分相關數據，各年度的人口以人數計，有些是以千人計，有些以萬人計，例如 2011 年總就業人口為 1,070.9 萬人，65 歲以上男性農業就業人口為 69.1 千人。試根據表格資料選出正確的選項。

如示意圖，四面體 $OABC$ 中，$\Delta OAB$ 和 $\Delta OAC$ 均為正三角形，$\angle B O C=30^{\circ}$。試選出正確的選項。

網路賣家以200元的成本取得某件模型，並以成本的5倍作為售價，差價即為利潤。但過了一段時間無人問津，因此賣家決定以逐次減少一半利潤的方式調降售價。若依此方式進行，則調降三次後該模型的售價為 元。

有一按鈕遊戲機，每投幣一枚，可按遊戲機三次。第一次按下會出現黑色或白色的機率各為 $\large\frac{1}{2}$；第二或第三次按下，出現與前一次同色的機率為 $\large\frac{1}{3}$，不同色的機率為 $\large\frac{2}{3}$。今某甲投幣一枚後，按三次均出現同色的機率為 。（化為最簡分數）

設 $S$ 為坐標平面上直線 $2x+y=10$ 被平行線 $x-2y+15=0$ 與 $x-2y=0$ 所截的線段（含端點）。若直線 $3x-y=c$ 與 $S$ 有交點，則 $c$ 的最小值為 。

平面上有一箏形 $ABCD$，其中 ${\overline{{A B}}}={\overline{{B C}}}={\sqrt{2}}$，${\overline{{A D}}}={\overline{{C D}}}=2$，$\angle B A D=135^{\circ}$。
則 $\overline{AC}=$ （化為最簡根式）

空間中有三點 $A(1,7,2)$、$B(2,-6,3)$、$C(0,-4,1)$。若直線 $L$ 通過 $A$ 點並與直線 $BC$ 相交且垂直，則 $L$ 和 $BC$ 直線的交點坐標為 $($ $,$ $,$ $)$。

坐標平面上有一條拋物線 $\Gamma$，其上有四個點構成等腰梯形，且等腰梯形的對稱軸與 $\Gamma$ 的對稱軸重合。已知該等腰梯形的上底為 4、下底為 6、高為 14，則 $\Gamma$ 的焦距為 。（化為最簡分數）

設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧 $QRT$ 是一個以 $O$ 點為圓心、$\overline {QT}$ 為直徑的半圓，$\overline {QT} = 2\sqrt{3}$。圓弧 $QST$ 的圓心在 $P$ 點，$\overline{PQ}=\overline{PT}=2$。圓弧 $QRT$ 與圓弧 $QST$ 所圍出的灰色區域 $QRTSQ$ 即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為 $a\pi+\sqrt{b}$，其中 $\pi$ 為圓周率，$a$ 為有理數，$b$ 為整數，則 $a=$ （化為最簡分數），$b=$ 。