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111-學測-數學A
中等
共 18 題
滿分 100 分
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第 1 題
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作答時間
00:00
交卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
某冰淇淋店最少需準備
n
n
n
桶不同口味的冰淇淋，才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過100種」。試問來店顧客從
n
n
n
桶中任選兩球（可為同一口味）共有幾種方法？
A
101
B
105
C
115
D
120
E
225
某品牌計算機在計算對數
log
a
b
\log_{a}b
lo
g
a
b
時需按
log
(
a
,
b
)
\log(a,b)
lo
g
(
a
,
b
)
。某生在計算
log
a
b
\log_{a}b
lo
g
a
b
時（其中
a
>
1
a\gt 1
a
>
1
且
b
>
1
b\gt 1
b
>
1
）順序弄錯，誤按
log
(
b
,
a
)
\log(b,a)
lo
g
(
b
,
a
)
，所得為正確值的
9
4
\large\frac{9}{4}
4
9
倍。試選出
a
,
b
a,b
a
,
b
間的關係式。
A
a
2
=
b
3
a^{2}=b^{3}
a
2
=
b
3
B
a
3
=
b
2
a^{3}=b^{2}
a
3
=
b
2
C
a
4
=
b
9
a^{4}=b^{9}
a
4
=
b
9
D
2
a
=
3
b
2a=3b
2
a
=
3
b
E
3
a
=
2
b
3a=2b
3
a
=
2
b
在處理二維數據時，有種方法是將數據垂直投影到某一直線，並以該直線為數線，進而了解投影點所成一維數據的變異。下圖的一組二維數據，試問投影到哪一選項的直線，所得之一維投影數據的變異數會是最小？
A
y
=
2
x
y=2x
y
=
2
x
B
y
=
−
2
x
y=-2x
y
=
−
2
x
C
y
=
−
x
y=-x
y
=
−
x
D
y
=
x
2
y={\large\frac{x}{2}}
y
=
2
x
E
y
=
−
x
2
y={\large-\frac{x}{2}}
y
=
−
2
x
設等差數列
⟨
a
n
⟩
\left\langle a_{n}\right\rangle
⟨
a
n
⟩
之首項
a
1
a_1
a
1
與公差
d
d
d
皆為正數，且
log
a
1
,
log
a
3
,
log
a
6
\log a_{1},\log a_{3},\log a_{6}
lo
g
a
1
,
lo
g
a
3
,
lo
g
a
6
依序也成等差數列。試選出數列
log
a
1
,
log
a
3
,
log
a
6
\log a_{1},\log a_{3},\log a_{6}
lo
g
a
1
,
lo
g
a
3
,
lo
g
a
6
的公差。
A
log
d
\log d
lo
g
d
B
log
2
3
\log \large\frac{2}{3}
lo
g
3
2
C
log
3
2
\log \large\frac{3}{2}
lo
g
2
3
D
log
2
d
\log2d
lo
g
2
d
E
log
3
d
\log3d
lo
g
3
d
已知某地區有 30% 的人口感染某傳染病。針對該傳染病的快篩試劑檢驗，有陽性或陰性兩結果。已知該試劑將染病者判為陽性的機率為 80%，將未染病者判為陰性的機率則為 60%。為降低該試劑將染病者誤判為陰性的情況，專家建議連續採檢三次。若單次採檢判為陰性者中，染病者的機率為
P
P
P
；而連續採檢三次皆判為陰性者中，染病者的機率為
P
′
P^\prime
P
′
。試問
P
P
′
\large\frac{P}{P^{\prime}}
P
′
P
最接近哪一選項？
A
7
B
8
C
9
D
10
E
11
設坐標平面上兩直線
L
1
,
L
2
L_1,L_2
L
1
,
L
2
的斜率皆為正，且
L
1
,
L
2
L_1,L_2
L
1
,
L
2
有一夾角的平分線斜率為
11
9
\large\frac{11}{9}
9
11
。另一直線
L
L
L
通過點
(
2
,
1
3
)
(2,{\large\frac{1}{3}})
(
2
,
3
1
)
且與
L
1
,
L
2
L_1,L_2
L
1
,
L
2
所圍的有界區域為正三角形，試問
L
L
L
的方程式為下列哪一選項？
A
11
x
−
9
y
=
19
11x-9y=19
11
x
−
9
y
=
19
B
9
x
+
11
y
=
25
9x+11y=25
9
x
+
11
y
=
25
C
11
x
+
9
y
=
25
11x+9y=25
11
x
+
9
y
=
25
D
27
x
−
33
y
=
43
27x-33y=43
27
x
−
33
y
=
43
E
27
x
+
33
y
=
65
27x+33y=65
27
x
+
33
y
=
65
設整數
n
n
n
滿足
∣
5
n
−
21
∣
≥
7
∣
n
∣
|5n-21|\geq7|n|
∣5
n
−
21∣
≥
7∣
n
∣
。試選出正確的選項。
A
∣
5
n
−
7
n
∣
≥
21
\left|5n-7n\right|\geq21
∣
5
n
−
7
n
∣
≥
21
B
−
1
≤
7
n
5
n
−
21
≤
1
-1\leq{\large\frac{7n}{5n-21}}\leq1
−
1
≤
5
n
−
21
7
n
≤
1
C
7
n
≤
5
n
−
21
7n\leq5n-21
7
n
≤
5
n
−
21
D
(
5
n
−
21
)
2
≥
49
n
2
(5n-21)^{2}\geq49n^{2}
(
5
n
−
21
)
2
≥
49
n
2
E
滿足題設不等式的整數
n
n
n
有無窮多個
坐標平面上，
Δ
A
B
C
\Delta A B C
Δ
A
BC
三頂點的坐標分別為
A
(
0
,
2
)
,
B
(
1
,
0
)
,
C
(
4
,
1
)
A(0,2),\,B(1,0),\,C(4,1)
A
(
0
,
2
)
,
B
(
1
,
0
)
,
C
(
4
,
1
)
，試選出正確的選項。
A
Δ
A
B
C
\Delta A B C
Δ
A
BC
的三邊中，
A
C
‾
\overline{{A C}}
A
C
最長
B
sin
A
<
sin
C
\sin A\lt \sin C
sin
A
<
sin
C
C
Δ
A
B
C
\Delta A B C
Δ
A
BC
為銳角三角形
D
sin
B
=
7
2
10
\sin{B}={\large\frac{7{\sqrt{2}}}{10}}
sin
B
=
10
7
2
E
Δ
A
B
C
\Delta A B C
Δ
A
BC
的外接圓半徑比 2 小
已知
P
P
P
為
Δ
A
B
C
\Delta ABC
Δ
A
BC
內一點，且
A
P
→
=
a
A
B
→
+
b
A
C
→
\overrightarrow{AP}=a\overrightarrow{AB}+ b \overrightarrow{AC}
A
P
=
a
A
B
+
b
A
C
，其中
a
,
b
a,b
a
,
b
為相異實數。設
Q
,
R
Q,R
Q
,
R
在同一平面上，且
A
Q
→
=
b
A
B
→
+
a
A
C
→
\overrightarrow{AQ}=b\overrightarrow{AB}+ a \overrightarrow{AC}
A
Q
=
b
A
B
+
a
A
C
，
A
R
→
=
a
A
B
→
+
(
b
−
0.05
)
A
C
→
\overrightarrow{AR}=a\overrightarrow{AB}+ (b-0.05) \overrightarrow{AC}
A
R
=
a
A
B
+
(
b
−
0.05
)
A
C
。試選出正確的選項。
A
Q
,
R
Q,R
Q
,
R
也都在
Δ
A
B
C
\Delta ABC
Δ
A
BC
內部
B
∣
A
P
→
∣
=
∣
A
Q
→
∣
\left|{\overrightarrow{{A P}}}\right|=\left|{\overrightarrow{{A Q}}}\right|
A
P
=
A
Q
C
Δ
A
B
P
\Delta ABP
Δ
A
BP
面積
=
Δ
A
C
Q
= \Delta ACQ
=
Δ
A
CQ
面積
D
Δ
B
C
P
\Delta BCP
Δ
BCP
面積
=
Δ
B
C
Q
= \Delta BCQ
=
Δ
BCQ
面積
E
Δ
A
B
P
\Delta ABP
Δ
A
BP
面積
>
Δ
A
B
R
\gt \Delta ABR
>
Δ
A
BR
面積
給定一實係數三次多項式函數
f
(
x
)
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
3
f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+3
f
(
x
)
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
3
。令
g
(
x
)
=
f
(
−
x
)
−
3
g(x)=f(-x)-3
g
(
x
)
=
f
(
−
x
)
−
3
，已知
y
=
g
(
x
)
y=g(x)
y
=
g
(
x
)
圖形的對稱中心為
(
1
,
0
)
(1,0)
(
1
,
0
)
且
g
(
−
1
)
<
0
g(-1)\lt 0
g
(
−
1
)
<
0
。試選出正確的選項。
A
g
(
x
)
=
0
g(x)=0
g
(
x
)
=
0
有三相異整數根
B
a
<
0
a<0
a
<
0
C
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
圖形的對稱中心為
(
−
1
,
−
3
)
(-1,-3)
(
−
1
,
−
3
)
D
f
(
100
)
<
0
f(100) \lt 0
f
(
100
)
<
0
E
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形在點
(
−
1
,
f
(
−
1
)
)
(-1,f(-1))
(
−
1
,
f
(
−
1
))
附近會近似於一條斜率為
a
a
a
的直線
下圖為一個積木的示意圖，其中
A
B
C
ABC
A
BC
為一直角三角形，
∠
A
C
B
=
9
0
∘
\angle A C B=90^{\circ}
∠
A
CB
=
9
0
∘
，
A
C
‾
=
5
{\overline{{A C}}}=5
A
C
=
5
、
B
C
‾
=
6
{\overline{{B C}}}=6
BC
=
6
，且
A
D
E
B
ADEB
A
D
EB
與
A
D
F
C
ADFC
A
D
FC
皆為矩形。試選出正確的選項。
A
將此積木沿平面
A
C
E
ACE
A
CE
切下，可切得兩個四面體
B
平面
A
D
E
B
ADEB
A
D
EB
與
A
D
F
C
ADFC
A
D
FC
所夾銳角大於
4
5
∘
45^{\circ}
4
5
∘
C
∠
C
E
B
<
∠
A
E
B
\angle C E B\lt \angle A E B
∠
CEB
<
∠
A
EB
D
tan
∠
A
E
C
<
sin
∠
C
E
B
\tan\angle A E C\lt \sin\angle C E B
tan
∠
A
EC
<
sin
∠
CEB
E
∠
C
E
B
<
∠
A
E
C
\angle C E B\lt \angle A E C
∠
CEB
<
∠
A
EC
設
f
(
x
)
,
g
(
x
)
f(x),g(x)
f
(
x
)
,
g
(
x
)
皆為實係數多項式，其中
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
是首項係數為正的二次式。已知
(
g
(
x
)
)
2
(g(x))^{2}
(
g
(
x
)
)
2
除以
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的餘式為
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
，且
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形與
x
x
x
軸無交點。試選出
不可能
是
y
=
g
(
x
)
y=g(x)
y
=
g
(
x
)
圖形頂點的
y
y
y
坐標之選項。
A
2
2
\large\frac{\sqrt{2}}{2}
2
2
B
1
C
2
{\sqrt{2}}
2
D
2
E
π
\pi
π
有一款線上遊戲推出「十連抽」的抽卡機制，「十連抽」意思為系統自動做十次的抽卡動作。若每次「十連抽」需用 1500 枚代幣，抽中金卡的機率在前九次皆為 2%，在第十次為 10%。今某生有代幣 23000 枚，且不斷使用「十連抽」，抽到不能再抽為止。則某生抽到金卡張數的期望值為
張。
已知
a
a
a
、
b
b
b
為實數，且方程組
{
a
x
+
5
y
+
12
z
=
4
x
+
a
y
+
8
3
z
=
7
3
x
+
8
y
+
a
z
=
1
\left\{\begin{array}{c}{{a x+5y+12z=4}}\\ {{x+a y+\large{\frac{8}{3}}z=\normalsize7}}\\ {{3x+8y+a z=1}}\end{array}\right.
⎩
⎨
⎧
a
x
+
5
y
+
12
z
=
4
x
+
a
y
+
3
8
z
=
7
3
x
+
8
y
+
a
z
=
1
恰有一組解，又此方程組經過一系列的高斯消去法運算後，原來的增廣矩陣可化為
[
1
2
b
7
0
b
5
−
5
0
0
b
0
]
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & b & 7 \\ 0 & b & 5 & -5 \\ 0 & 0 & b & 0 \end{array}\right]
1
0
0
2
b
0
b
5
b
7
−
5
0
。則
a
=
a=
a
=
，
b
=
b=
b
=
。 （化為最簡分數）
如圖，王家有塊三角形土地
Δ
A
B
C
\Delta ABC
Δ
A
BC
，其中
B
C
‾
=
16
{\overline{B C}}=16
BC
=
16
公尺。政府擬徵收其中梯形
D
B
C
E
DBCE
D
BCE
部分，開闢以直線
D
E
,
B
C
DE,BC
D
E
,
BC
為邊線的馬路，其路寬為
h
h
h
公尺，這讓王家土地只剩原有面積的
9
16
\large\frac{9}{16}
16
9
。經協商，改以開闢平行直線
B
E
,
F
C
BE,FC
BE
,
FC
為邊線的馬路，且路寬不變，其中
∠
E
B
C
=
3
0
∘
\angle E B C=30^{\circ}
∠
EBC
=
3
0
∘
，則只需徵收
Δ
B
C
E
\Delta BCE
Δ
BCE
區域。依此協商，王家剩餘的土地
Δ
A
B
E
\Delta ABE
Δ
A
BE
有
平方公尺。
坐標空間中，平面
x
−
y
+
2
z
=
3
x-y+2z=3
x
−
y
+
2
z
=
3
上有兩相異直線
L
:
x
2
−
1
=
y
+
1
=
−
2
z
L: \large\frac{x}{2}\normalsize-1=y+1=-2z
L
:
2
x
−
1
=
y
+
1
=
−
2
z
與
L
′
L^{\prime}
L
′
。 已知
L
L
L
也在另一平面
E
E
E
上，且
L
′
L^{\prime}
L
′
在
E
E
E
的投影與
L
L
L
重合。則
E
E
E
的方程式為
。
坐標空間中一平行六面體，某一底面的其中三頂點為
(
−
1
,
2
,
1
)
,
(
−
4
,
1
,
3
)
,
(
2
,
0
,
−
3
)
(-1,2,1),(-4,1,3),(2,0,-3)
(
−
1
,
2
,
1
)
,
(
−
4
,
1
,
3
)
,
(
2
,
0
,
−
3
)
另一面之一頂點在
x
y
xy
x
y
平面上且與原點距離為 1。滿足前述條件之平行六面體中，最大體積為
題組 18–20
15 分
坐標平面上有一環狀區域由圓
x
2
+
y
2
=
3
x^{2}+y^{2}=3
x
2
+
y
2
=
3
的外部與圓
x
2
+
y
2
=
4
x^{2}+y^{2}=4
x
2
+
y
2
=
4
的內部交集而成。某甲欲用一支長度為 1 的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之
x
x
x
軸上方的某區域
R
R
R
。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓
C
1
:
x
2
+
y
2
=
3
(
y
≥
0
)
C_1:x^2+y^2=3(y \geq 0)
C
1
:
x
2
+
y
2
=
3
(
y
≥
0
)
、
C
2
:
x
2
+
y
2
=
4
(
y
≥
0
)
C_2:x^2+y^2=4(y \geq 0)
C
2
:
x
2
+
y
2
=
4
(
y
≥
0
)
上移動。開始時掃描棒黑端在點
A
(
3
,
0
)
A(\sqrt3,0)
A
(
3
,
0
)
，白端在
C
2
C_2
C
2
的點
B
B
B
。接著黑、白兩端各沿著
C
1
C_1
C
1
、
C
2
C_2
C
2
逆時針移動，直至白端碰到
C
2
C_2
C
2
的點
B
′
(
−
2
,
0
)
B^{\prime}(-2,0)
B
′
(
−
2
,
0
)
便停止掃描。
試問點
B
B
B
的坐標為下列哪一選項？
A
(
0
,
2
)
(0,2)
(
0
,
2
)
B
(
1
,
3
)
(1,\sqrt{3})
(
1
,
3
)
C
(
2
,
2
)
({\sqrt{2}},{\sqrt{2}})
(
2
,
2
)
D
(
3
,
1
)
({\sqrt{3}},1)
(
3
,
1
)
E
(
2
,
0
)
(2,0)
(
2
,
0
)
令
O
O
O
為原點，掃描棒停止時黑、白兩端所在位置分別為
A
′
,
B
′
A^\prime,B^\prime
A
′
,
B
′
。試在答題卷上作圖區中 以斜線標示掃描棒掃過的區域
R
R
R
；並於求解區內求
cos
∠
O
A
′
B
′
\cos\angle OA^{\prime}B^{\prime}
cos
∠
O
A
′
B
′
及點
A
′
A^\prime
A
′
的極坐標。
cos
∠
O
A
′
B
′
=
\cos\angle OA^{\prime}B^{\prime} =
cos
∠
O
A
′
B
′
=
A
′
A^\prime
A
′
的極坐標
=
(
=(
=
(
,
,
,
)
)
)
（承 19 題）令
Ω
\Omega
Ω
表示掃描棒在第一象限所掃過的區域，試分別求
Ω
\Omega
Ω
與
R
R
R
的面積。
Ω
\Omega
Ω
的面積
=
=
=
R
R
R
的面積
=
=
=
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