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115-學測-數學A | Arete（艾睿）
115-學測-數學A
中等
共 20 題
滿分 100 分
0
0
第 1 題
已作答 0/20
作答時間
00:00
交卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
財神廟舉辦抽發財金活動：參加者抽兩次籤，每次抽籤出現「吉」、「祥」的機率皆為
1
3
\dfrac{1}{3}
3
1
。如果兩次都抽得「吉」，獲得獎金
180
180
180
元；如果兩次都抽得「祥」，獲得獎金
90
90
90
元；其餘情況則無獎金。試問參加者可獲獎金的期望值為何？
A
20
20
20
元
B
30
30
30
元
C
45
45
45
元
D
60
60
60
元
E
90
90
90
元
對任一實數
a
a
a
，令
⌊
a
⌋
\lfloor a\rfloor
⌊
a
⌋
代表滿足
⌊
a
⌋
≤
a
<
⌊
a
⌋
+
1
\lfloor a\rfloor\le a<\lfloor a\rfloor+1
⌊
a
⌋
≤
a
<
⌊
a
⌋
+
1
的整數。例如
⌊
3
⌋
=
3
\lfloor3\rfloor=3
⌊
3
⌋
=
3
、
⌊
3.1
⌋
=
3
\lfloor3.1\rfloor=3
⌊
3.1
⌋
=
3
、
⌊
−
3.1
⌋
=
−
4
\lfloor-3.1\rfloor=-4
⌊
−
3.1
⌋
=
−
4
。關於函數
f
(
x
)
=
⌊
99
−
x
⌋
+
⌊
99
+
x
⌋
f(x)=\lfloor\sqrt{99-x}\rfloor+\lfloor\sqrt{99+x}\rfloor
f
(
x
)
=
⌊
99
−
x
⌋
+
⌊
99
+
x
⌋
，其中
−
99
≤
x
≤
99
-99\le x\le99
−
99
≤
x
≤
99
，試選出正確的選項。
A
f
(
−
20
)
≤
f
(
0
)
<
f
(
1
)
f(-20)\le f(0)<f(1)
f
(
−
20
)
≤
f
(
0
)
<
f
(
1
)
B
f
(
−
20
)
<
f
(
1
)
≤
f
(
0
)
f(-20)<f(1)\le f(0)
f
(
−
20
)
<
f
(
1
)
≤
f
(
0
)
C
f
(
1
)
<
f
(
−
20
)
≤
f
(
0
)
f(1)<f(-20)\le f(0)
f
(
1
)
<
f
(
−
20
)
≤
f
(
0
)
D
f
(
0
)
<
f
(
−
20
)
≤
f
(
1
)
f(0)<f(-20)\le f(1)
f
(
0
)
<
f
(
−
20
)
≤
f
(
1
)
E
f
(
0
)
≤
f
(
1
)
<
f
(
−
20
)
f(0)\le f(1)<f(-20)
f
(
0
)
≤
f
(
1
)
<
f
(
−
20
)
設
f
(
x
)
=
a
x
f(x)=a^x
f
(
x
)
=
a
x
，其中
a
a
a
為正實數。已知
c
1
c_1
c
1
、
c
2
c_2
c
2
、
c
3
c_3
c
3
是公差為
10
3
\dfrac{10}{3}
3
10
的等差數列，且
f
(
c
1
)
f(c_1)
f
(
c
1
)
、
f
(
c
2
)
f(c_2)
f
(
c
2
)
、
f
(
c
3
)
f(c_3)
f
(
c
3
)
是公比為
4
4
4
的等比數列。則等比數列
f
(
10
)
f(10)
f
(
10
)
、
f
(
8
)
f(8)
f
(
8
)
、
f
(
6
)
f(6)
f
(
6
)
的公比為何？
A
2
−
6
5
2^{-\frac{6}{5}}
2
−
5
6
B
2
−
3
5
2^{-\frac{3}{5}}
2
−
5
3
C
2
3
5
2^{\frac{3}{5}}
2
5
3
D
2
6
5
2^{\frac{6}{5}}
2
5
6
E
2
5
3
2^{\frac{5}{3}}
2
3
5
某網遊有
16
16
16
種材料，其中
6
6
6
種為基本材料、
10
10
10
種為進階材料。任選
3
3
3
種不同材料可以合成出草藥、食物、藥水中的
1
1
1
類道具。若
3
3
3
種材料均為基本材料，則合成結果必為同一種草藥；若
3
3
3
種材料中有
2
2
2
種基本材料、
1
1
1
種進階材料，則合成結果會根據不同的進階材料得到不同的食物，但不會受到基本材料不同而改變；其他組合都會合成出不同種的藥水。試問此網遊總共可合成出多少種道具？
A
256
256
256
B
370
370
370
C
401
401
401
D
455
455
455
E
560
560
560
已知實數三階方陣
A
A
A
滿足
A
[
1
1
0
]
=
[
0
−
1
1
]
A\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}
A
1
1
0
=
0
−
1
1
、
A
[
0
−
1
1
]
=
[
1
1
0
]
A\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}
A
0
−
1
1
=
1
1
0
、
A
[
1
0
−
1
]
=
[
0
0
0
]
A\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}
A
1
0
−
1
=
0
0
0
。試問有多少個向量
v
=
[
v
1
v
2
v
3
]
\mathbf{v}=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}
v
=
v
1
v
2
v
3
滿足
A
v
=
[
1
0
1
]
A\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}
A
v
=
1
0
1
，且
v
\mathbf{v}
v
垂直於向量
[
0
1
0
]
\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}
0
1
0
？
A
1
1
1
個
B
2
2
2
個
C
3
3
3
個
D
0
0
0
個
E
無窮多個
坐標平面上有
A
(
2
,
−
2
)
A(2,-2)
A
(
2
,
−
2
)
、
B
(
−
1
,
2
)
B(-1,2)
B
(
−
1
,
2
)
兩點。試問直線
y
=
−
6
y=-6
y
=
−
6
上有多少個點
C
C
C
，使得
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
BC
為等腰三角形？
A
1
1
1
B
2
2
2
C
3
3
3
D
4
4
4
E
5
5
5
坐標平面上同時滿足
2
x
−
y
−
3
>
0
2x-y-3>0
2
x
−
y
−
3
>
0
、
x
+
2
y
+
1
<
0
x+2y+1<0
x
+
2
y
+
1
<
0
的點
P
(
x
,
y
)
P(x,y)
P
(
x
,
y
)
可能位在下列哪些選項？
A
第一象限
B
第二象限
C
第三象限
D
第四象限
E
x
x
x
軸
已知
A
=
[
2
1
1
0
]
A=\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}
A
=
[
2
1
1
0
]
，且對所有正整數
n
≥
2
n\ge 2
n
≥
2
，令
A
n
=
[
a
n
b
n
c
n
d
n
]
A^n=\begin{bmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{bmatrix}
A
n
=
[
a
n
c
n
b
n
d
n
]
。試選出正確的選項。
A
b
2
<
c
2
b_2<c_2
b
2
<
c
2
B
A
2
=
2
A
+
[
1
0
0
1
]
A^2=2A+\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}
A
2
=
2
A
+
[
1
0
0
1
]
C
c
n
+
2
=
c
n
+
1
+
2
c
n
c_{n+2}=c_{n+1}+2c_n
c
n
+
2
=
c
n
+
1
+
2
c
n
D
[
a
n
b
n
c
n
d
n
]
[
0
1
]
=
[
b
n
+
1
d
n
+
1
]
\begin{bmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_{n+1}\\d_{n+1}\end{bmatrix}
[
a
n
c
n
b
n
d
n
]
[
0
1
]
=
[
b
n
+
1
d
n
+
1
]
E
d
2
n
−
a
2
n
=
(
d
n
)
2
−
(
a
n
)
2
d_{2n}-a_{2n}=(d_n)^2-(a_n)^2
d
2
n
−
a
2
n
=
(
d
n
)
2
−
(
a
n
)
2
T
T
T
分數為評量成績的一種方式，其計算方式如下：設全班平均成績為
μ
\mu
μ
、標準差為
σ
\sigma
σ
；若某生原始成績為
S
S
S
，則該科
T
T
T
分數為
T
=
50
+
10
S
−
μ
σ
T=50+10\dfrac{S-\mu}{\sigma}
T
=
50
+
10
σ
S
−
μ
。已知某班期末數學和英文兩科的平均成績皆為
60
60
60
，數學成績的標準差為
12
12
12
，英文成績的標準差為
8
8
8
。試選出正確的選項。
A
若甲生英文的原始成績為
52
52
52
，則其
T
T
T
分數為
40
40
40
B
各生數學的
T
T
T
分數不會超過其原始成績
C
若乙生兩科的原始成績平均比丙生兩科的原始成績平均高，則乙生兩科的
T
T
T
分數平均比丙生兩科的
T
T
T
分數平均高
D
若該班級兩科的及格標準均為
T
T
T
分數大於或等於
40
40
40
，則數學及格的原始成績比英文及格的原始成績低
E
該班原始成績數學對英文的迴歸直線（即最適直線）之斜率與該班
T
T
T
分數數學對英文的迴歸直線之斜率相同
已知四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
BC
D
中，
A
B
∥
D
C
AB\parallel DC
A
B
∥
D
C
，
A
C
AC
A
C
與
B
D
BD
B
D
交於
E
E
E
。若
A
B
→
=
(
2
,
−
6
)
\overrightarrow{AB}=(2,-6)
A
B
=
(
2
,
−
6
)
、
A
D
→
=
(
1
,
5
)
\overrightarrow{AD}=(1,5)
A
D
=
(
1
,
5
)
且
△
A
B
E
\triangle ABE
△
A
BE
面積為
3
3
3
，試選出正確的選項。
A
cos
∠
B
A
D
=
−
7
65
65
\cos\angle BAD=-\dfrac{7\sqrt{65}}{65}
cos
∠
B
A
D
=
−
65
7
65
B
△
A
B
D
\triangle ABD
△
A
B
D
面積為
9
9
9
C
A
E
→
=
(
3
2
,
1
2
)
\overrightarrow{AE}=(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2})
A
E
=
(
2
3
,
2
1
)
D
四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
BC
D
面積為
65
3
\dfrac{65}{3}
3
65
E
B
C
<
8
3
BC<\dfrac{8}{3}
BC
<
3
8
令
Γ
\Gamma
Γ
為坐標平面上
y
=
cos
(
π
2
x
)
y=\cos(\dfrac{\pi}{2}x)
y
=
cos
(
2
π
x
)
的圖形。對任一實數
m
≠
0
m\ne 0
m
=
0
，以
L
m
L_m
L
m
表示直線
y
=
m
x
+
1
y=mx+1
y
=
m
x
+
1
。試選出正確的選項。
A
m
>
0
m>0
m
>
0
時，
L
m
L_m
L
m
和
Γ
\Gamma
Γ
交點的
x
x
x
坐標皆為負
B
若
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
為
L
m
L_m
L
m
和
Γ
\Gamma
Γ
的交點，則
(
−
a
,
b
)
(-a,b)
(
−
a
,
b
)
為
L
−
m
L_{-m}
L
−
m
和
Γ
\Gamma
Γ
的交點
C
可以找到一實數
m
≠
0
m\ne 0
m
=
0
使得
L
m
L_m
L
m
和
Γ
\Gamma
Γ
交於點
(
20
3
,
1
2
)
(\dfrac{20}{3},\dfrac{1}{2})
(
3
20
,
2
1
)
D
若
L
m
L_m
L
m
與
Γ
\Gamma
Γ
有一交點在直線
y
=
−
1
y=-1
y
=
−
1
上，則
1
m
\dfrac{1}{m}
m
1
是奇數
E
若
L
m
L_m
L
m
與
Γ
\Gamma
Γ
有一交點在
x
x
x
軸上，則
L
m
L_m
L
m
與
Γ
\Gamma
Γ
有偶數個交點
令
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
、
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
為實係數三次多項式且
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的首項係數為
1
1
1
，已知
f
(
x
)
−
g
(
x
)
=
2
x
3
+
2
x
f(x)-g(x)=2x^3+2x
f
(
x
)
−
g
(
x
)
=
2
x
3
+
2
x
。令
Γ
1
\Gamma_1
Γ
1
和
Γ
2
\Gamma_2
Γ
2
分別為
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
和
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
在坐標平面上的函數圖形，其對稱中心分別為
(
a
1
,
b
1
)
(a_1,b_1)
(
a
1
,
b
1
)
、
(
a
2
,
b
2
)
(a_2,b_2)
(
a
2
,
b
2
)
。試選出正確的選項。
A
Γ
1
\Gamma_1
Γ
1
和
Γ
2
\Gamma_2
Γ
2
恰交於三點
B
a
1
+
a
2
a_1+a_2
a
1
+
a
2
可唯一確定
C
b
1
+
b
2
b_1+b_2
b
1
+
b
2
可唯一確定
D
若
a
1
=
a
2
a_1=a_2
a
1
=
a
2
，則
b
1
=
b
2
b_1=b_2
b
1
=
b
2
E
若
b
1
=
b
2
b_1=b_2
b
1
=
b
2
，則
a
1
=
a
2
a_1=a_2
a
1
=
a
2
某高中聘用的全體教師
1
4
\dfrac{1}{4}
4
1
只有學士學位，
3
4
\dfrac{3}{4}
4
3
有碩士學位。只有學士學位的教師中有
1
5
\dfrac{1}{5}
5
1
通過英聽檢定，有碩士學位的教師中有
3
5
\dfrac{3}{5}
5
3
通過英聽檢定。已知每位教師被抽到的機會相等，若隨機抽選一位通過英聽檢定的教師，則該教師有碩士學位的條件機率為
。（化為最簡分數）
坐標平面上，向量
(
a
,
b
)
(a,b)
(
a
,
b
)
與直線
y
=
b
x
−
1
y=bx-1
y
=
b
x
−
1
垂直，則
a
+
b
a+b
a
+
b
的最大可能值為
。（化為最簡分數）
已知三正數
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
成一等差數列，其中
a
<
b
<
c
a<b<c
a
<
b
<
c
，且坐標平面上三點
(
a
,
log
3
a
)
(a,\log 3a)
(
a
,
lo
g
3
a
)
、
(
b
,
log
4
b
)
(b,\log 4b)
(
b
,
lo
g
4
b
)
、
(
c
,
log
6
c
)
(c,\log 6c)
(
c
,
lo
g
6
c
)
在同一直線上，則
b
a
\dfrac{b}{a}
a
b
之值為
。（化為最簡分數）
坐標平面上，已知二次函數圖形
Γ
:
y
=
f
(
x
)
\Gamma:y=f(x)
Γ
:
y
=
f
(
x
)
的頂點
P
P
P
在直線
y
=
1
+
2
x
y=1+2x
y
=
1
+
2
x
上，且交
x
x
x
軸於點
A
(
−
1
2
,
0
)
A(-\dfrac{1}{2},0)
A
(
−
2
1
,
0
)
、
B
(
1
2
,
0
)
B(\dfrac{1}{2},0)
B
(
2
1
,
0
)
。將
Γ
\Gamma
Γ
平移使得平移後圖形的頂點
Q
Q
Q
仍在直線
y
=
1
+
2
x
y=1+2x
y
=
1
+
2
x
上，且亦通過點
B
(
1
2
,
0
)
B(\dfrac{1}{2},0)
B
(
2
1
,
0
)
，此時
P
P
P
、
Q
Q
Q
為兩相異點，則
P
Q
‾
\overline{PQ}
PQ
之值為
。（化為最簡根式）
直角
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
BC
中，
∠
C
A
B
\angle CAB
∠
C
A
B
為直角，
A
B
‾
\overline{AB}
A
B
邊上一點
D
D
D
，滿足
∠
B
C
D
=
2
∠
A
C
D
\angle BCD=2\angle ACD
∠
BC
D
=
2∠
A
C
D
，且
B
C
‾
=
2
B
D
‾
\overline{BC}=2\overline{BD}
BC
=
2
B
D
。若
A
D
→
=
k
A
B
→
\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}
A
D
=
k
A
B
，則
k
k
k
之值為
。（化為最簡分數）
坐標空間中有一平行六面體
P
Q
R
S
−
A
B
C
D
PQRS-ABCD
PQRS
−
A
BC
D
，如圖所示。已知
A
B
→
×
A
D
→
=
(
−
5
,
5
,
5
)
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(-5,5,5)
A
B
×
A
D
=
(
−
5
,
5
,
5
)
、
A
D
→
×
A
P
→
=
(
−
2
,
0
,
−
4
)
\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP}=(-2,0,-4)
A
D
×
A
P
=
(
−
2
,
0
,
−
4
)
、
A
P
→
×
A
B
→
=
(
6
,
−
10
,
−
8
)
\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=(6,-10,-8)
A
P
×
A
B
=
(
6
,
−
10
,
−
8
)
、
A
P
‾
=
6
\overline{AP}=6
A
P
=
6
。試回答下列問題。
試問平行四邊形
A
B
C
D
ABCD
A
BC
D
的面積為何？
A
2
5
2\sqrt{5}
2
5
B
5
2
5\sqrt{2}
5
2
C
5
3
5\sqrt{3}
5
3
D
6
3
6\sqrt{3}
6
3
E
10
2
10\sqrt{2}
10
2
坐標空間中有一平行六面體
P
Q
R
S
−
A
B
C
D
PQRS-ABCD
PQRS
−
A
BC
D
，如圖所示。已知
A
B
→
×
A
D
→
=
(
−
5
,
5
,
5
)
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(-5,5,5)
A
B
×
A
D
=
(
−
5
,
5
,
5
)
、
A
D
→
×
A
P
→
=
(
−
2
,
0
,
−
4
)
\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP}=(-2,0,-4)
A
D
×
A
P
=
(
−
2
,
0
,
−
4
)
、
A
P
→
×
A
B
→
=
(
6
,
−
10
,
−
8
)
\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=(6,-10,-8)
A
P
×
A
B
=
(
6
,
−
10
,
−
8
)
、
A
P
‾
=
6
\overline{AP}=6
A
P
=
6
。試回答下列問題。
設
B
B
B
點坐標為
(
1
,
2
,
0
)
(1,2,0)
(
1
,
2
,
0
)
，試求平面
A
B
C
D
ABCD
A
BC
D
的平面方程式。
坐標空間中有一平行六面體
P
Q
R
S
−
A
B
C
D
PQRS-ABCD
PQRS
−
A
BC
D
，如圖所示。已知
A
B
→
×
A
D
→
=
(
−
5
,
5
,
5
)
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(-5,5,5)
A
B
×
A
D
=
(
−
5
,
5
,
5
)
、
A
D
→
×
A
P
→
=
(
−
2
,
0
,
−
4
)
\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP}=(-2,0,-4)
A
D
×
A
P
=
(
−
2
,
0
,
−
4
)
、
A
P
→
×
A
B
→
=
(
6
,
−
10
,
−
8
)
\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=(6,-10,-8)
A
P
×
A
B
=
(
6
,
−
10
,
−
8
)
、
A
P
‾
=
6
\overline{AP}=6
A
P
=
6
。試回答下列問題。
試求平行六面體的體積，並求平行六面體上（含邊界）距點
A
A
A
的最長距離。
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