財神廟舉辦抽發財金活動：參加者抽兩次籤，每次抽籤出現「吉」、「祥」的機率皆為 $\dfrac{1}{3}$。如果兩次都抽得「吉」，獲得獎金 $180$ 元；如果兩次都抽得「祥」，獲得獎金 $90$ 元；其餘情況則無獎金。試問參加者可獲獎金的期望值為何？

對任一實數 $a$，令 $\lfloor a\rfloor$ 代表滿足 $\lfloor a\rfloor\le a<\lfloor a\rfloor+1$ 的整數。例如 $\lfloor3\rfloor=3$、$\lfloor3.1\rfloor=3$、$\lfloor-3.1\rfloor=-4$。關於函數 $f(x)=\lfloor\sqrt{99-x}\rfloor+\lfloor\sqrt{99+x}\rfloor$，其中 $-99\le x\le99$，試選出正確的選項。

設 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 為正實數。已知 $c_1$、$c_2$、$c_3$ 是公差為 $\dfrac{10}{3}$ 的等差數列，且 $f(c_1)$、$f(c_2)$、$f(c_3)$ 是公比為 $4$ 的等比數列。則等比數列 $f(10)$、$f(8)$、$f(6)$ 的公比為何？

某網遊有 $16$ 種材料，其中 $6$ 種為基本材料、$10$ 種為進階材料。任選 $3$ 種不同材料可以合成出草藥、食物、藥水中的 $1$ 類道具。若 $3$ 種材料均為基本材料，則合成結果必為同一種草藥；若 $3$ 種材料中有 $2$ 種基本材料、$1$ 種進階材料，則合成結果會根據不同的進階材料得到不同的食物，但不會受到基本材料不同而改變；其他組合都會合成出不同種的藥水。試問此網遊總共可合成出多少種道具？

已知實數三階方陣 $A$ 滿足 $A\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}$、$A\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$、$A\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$。試問有多少個向量 $\mathbf{v}=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}$ 滿足 $A\mathbf{v}=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$，且 $\mathbf{v}$ 垂直於向量 $\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$？

坐標平面上有 $A(2,-2)$、$B(-1,2)$ 兩點。試問直線 $y=-6$ 上有多少個點 $C$，使得 $\triangle ABC$ 為等腰三角形？

坐標平面上同時滿足 $2x-y-3>0$、$x+2y+1<0$ 的點 $P(x,y)$ 可能位在下列哪些選項？

已知 $A=\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}$，且對所有正整數 $n\ge 2$，令 $A^n=\begin{bmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{bmatrix}$。試選出正確的選項。

$T$ 分數為評量成績的一種方式，其計算方式如下：設全班平均成績為 $\mu$、標準差為 $\sigma$；若某生原始成績為 $S$，則該科 $T$ 分數為 $T=50+10\dfrac{S-\mu}{\sigma}$。已知某班期末數學和英文兩科的平均成績皆為 $60$，數學成績的標準差為 $12$，英文成績的標準差為 $8$。試選出正確的選項。

已知四邊形 $ABCD$ 中，$AB\parallel DC$，$AC$ 與 $BD$ 交於 $E$。若 $\overrightarrow{AB}=(2,-6)$、$\overrightarrow{AD}=(1,5)$ 且 $\triangle ABE$ 面積為 $3$，試選出正確的選項。

令 $\Gamma$ 為坐標平面上 $y=\cos(\dfrac{\pi}{2}x)$ 的圖形。對任一實數 $m\ne 0$，以 $L_m$ 表示直線 $y=mx+1$。試選出正確的選項。

令 $f(x)$、$g(x)$ 為實係數三次多項式且 $f(x)$ 的首項係數為 $1$，已知 $f(x)-g(x)=2x^3+2x$。令 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 分別為 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在坐標平面上的函數圖形，其對稱中心分別為 $(a_1,b_1)$、$(a_2,b_2)$。試選出正確的選項。

某高中聘用的全體教師 $\dfrac{1}{4}$ 只有學士學位，$\dfrac{3}{4}$ 有碩士學位。只有學士學位的教師中有 $\dfrac{1}{5}$ 通過英聽檢定，有碩士學位的教師中有 $\dfrac{3}{5}$ 通過英聽檢定。已知每位教師被抽到的機會相等，若隨機抽選一位通過英聽檢定的教師，則該教師有碩士學位的條件機率為 。（化為最簡分數）

坐標平面上，向量 $(a,b)$ 與直線 $y=bx-1$ 垂直，則 $a+b$ 的最大可能值為 。（化為最簡分數）

已知三正數 $a,b,c$ 成一等差數列，其中 $a<b<c$，且坐標平面上三點 $(a,\log 3a)$、$(b,\log 4b)$、$(c,\log 6c)$ 在同一直線上，則 $\dfrac{b}{a}$ 之值為 。（化為最簡分數）

坐標平面上，已知二次函數圖形 $\Gamma:y=f(x)$ 的頂點 $P$ 在直線 $y=1+2x$ 上，且交 $x$ 軸於點 $A(-\dfrac{1}{2},0)$、$B(\dfrac{1}{2},0)$。將 $\Gamma$ 平移使得平移後圖形的頂點 $Q$ 仍在直線 $y=1+2x$ 上，且亦通過點 $B(\dfrac{1}{2},0)$，此時 $P$、$Q$ 為兩相異點，則 $\overline{PQ}$ 之值為 。（化為最簡根式）

直角 $\triangle ABC$ 中，$\angle CAB$ 為直角，$\overline{AB}$ 邊上一點 $D$，滿足 $\angle BCD=2\angle ACD$，且 $\overline{BC}=2\overline{BD}$。若 $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{AB}$，則 $k$ 之值為 。（化為最簡分數）

坐標空間中有一平行六面體 $PQRS-ABCD$，如圖所示。已知 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(-5,5,5)$、$\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP}=(-2,0,-4)$、$\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=(6,-10,-8)$、$\overline{AP}=6$。試回答下列問題。 試問平行四邊形 $ABCD$ 的面積為何？

坐標空間中有一平行六面體 $PQRS-ABCD$，如圖所示。已知 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(-5,5,5)$、$\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP}=(-2,0,-4)$、$\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=(6,-10,-8)$、$\overline{AP}=6$。試回答下列問題。 設 $B$ 點坐標為 $(1,2,0)$，試求平面 $ABCD$ 的平面方程式。

坐標空間中有一平行六面體 $PQRS-ABCD$，如圖所示。已知 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(-5,5,5)$、$\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AP}=(-2,0,-4)$、$\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AB}=(6,-10,-8)$、$\overline{AP}=6$。試回答下列問題。 試求平行六面體的體積，並求平行六面體上（含邊界）距點 $A$ 的最長距離。