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115-分科測驗-數學乙
中等
共 18 題
滿分 100 分
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第 1 題
已作答 0/18
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交卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
試選出
log
2
(
8
2
)
−
log
2
(
4
2
)
\log_2(8\sqrt{2})-\log_2(4\sqrt{2})
lo
g
2
(
8
2
)
−
lo
g
2
(
4
2
)
的值。
A
1
1
1
B
2
2
2
C
1
2
\dfrac{1}{2}
2
1
D
3
2
\dfrac{3}{2}
2
3
E
5
2
\dfrac{5}{2}
2
5
設
i
=
−
1
i=\sqrt{-1}
i
=
−
1
、複數
z
=
2
+
i
z=2+i
z
=
2
+
i
、
w
=
1
+
i
w=1+i
w
=
1
+
i
。試問下列哪一個複數的絕對值等於
5
5
5
？
A
z
−
w
z-w
z
−
w
B
z
−
2
w
z-2w
z
−
2
w
C
z
−
3
w
z-3w
z
−
3
w
D
z
−
4
w
z-4w
z
−
4
w
E
z
−
5
w
z-5w
z
−
5
w
一袋中有三顆球，球上分別印有號碼
1
,
2
,
6
1,2,6
1
,
2
,
6
。假設每次抽球時，袋中每顆球被抽到的機率均相等，考慮以下三種情況： （甲）隨機抽出一顆球，設此球號碼的期望值為
a
a
a
。 （乙）隨機抽出一顆球，記錄號碼後放回袋中，再隨機抽出一顆球，設前後兩顆球號碼平均數的期望值為
b
b
b
。 （丙）隨機抽出一顆球，取後不放回，再隨機抽出另一顆球，設前後兩顆球號碼平均數的期望值為
c
c
c
。 有關
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
的大小關係，試選出正確的選項。
A
a
>
b
>
c
a>b>c
a
>
b
>
c
B
a
=
b
>
c
a=b>c
a
=
b
>
c
C
a
=
b
=
c
a=b=c
a
=
b
=
c
D
a
=
b
<
c
a=b<c
a
=
b
<
c
E
a
<
b
<
c
a<b<c
a
<
b
<
c
坐標平面上有一圓
Γ
\Gamma
Γ
。已知直線
L
:
y
=
x
L:y=x
L
:
y
=
x
與圓
Γ
\Gamma
Γ
相切，且圓
Γ
\Gamma
Γ
的圓心對直線
L
L
L
的對稱點坐標為
(
5
,
3
)
(5,3)
(
5
,
3
)
。試選出圓
Γ
\Gamma
Γ
的方程式。
A
(
x
−
5
)
2
+
(
y
+
3
)
2
=
0
(x-5)^2+(y+3)^2=0
(
x
−
5
)
2
+
(
y
+
3
)
2
=
0
B
(
x
−
5
)
2
+
(
y
+
3
)
2
=
2
(x-5)^2+(y+3)^2=2
(
x
−
5
)
2
+
(
y
+
3
)
2
=
2
C
(
x
−
5
)
2
+
(
y
+
3
)
2
=
4
(x-5)^2+(y+3)^2=4
(
x
−
5
)
2
+
(
y
+
3
)
2
=
4
D
(
x
−
3
)
2
+
(
y
−
5
)
2
=
2
(x-3)^2+(y-5)^2=2
(
x
−
3
)
2
+
(
y
−
5
)
2
=
2
E
(
x
−
3
)
2
+
(
y
−
5
)
2
=
4
(x-3)^2+(y-5)^2=4
(
x
−
3
)
2
+
(
y
−
5
)
2
=
4
坐標空間中有一點
A
(
6
,
8
,
−
8
)
A(6,8,-8)
A
(
6
,
8
,
−
8
)
。試問在
x
x
x
軸、
y
y
y
軸、
z
z
z
軸這三條坐標軸上，總共有幾個點與點
A
A
A
的距離等於
10
10
10
？
A
0
0
0
B
2
2
2
C
3
3
3
D
4
4
4
E
6
6
6
設三次多項式
f
(
x
)
=
∫
0
x
t
(
t
−
2
)
d
t
f(x)=\int_0^x t(t-2)\,dt
f
(
x
)
=
∫
0
x
t
(
t
−
2
)
d
t
。試問下列選項中，哪一個最有可能是函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
在坐標平面上的圖形？
A
B
C
D
E
根據經驗，某甲在閱讀某社群媒體上的文章時，對每篇文章是否「按讚」為獨立事件，且對每篇文章「按讚」的機率皆為
1
3
\dfrac{1}{3}
3
1
。已知某甲在某日依序讀了
4
4
4
篇文章。試選出正確的選項。
A
某甲對第
4
4
4
篇文章「按讚」的機率是
1
3
\dfrac{1}{3}
3
1
B
在某甲對第
1
1
1
篇文章「按讚」的條件下，某甲對第
2
2
2
篇文章「按讚」的機率小於
1
3
\dfrac{1}{3}
3
1
C
某甲在此
4
4
4
篇文章中，恰對
2
2
2
篇文章「按讚」的機率是
4
81
\dfrac{4}{81}
81
4
D
某甲在此
4
4
4
篇文章中，至少對
2
2
2
篇文章「按讚」的機率是
11
27
\dfrac{11}{27}
27
11
E
某甲在此
4
4
4
篇文章中，至少連續對
2
2
2
篇文章「按讚」的機率是
7
27
\dfrac{7}{27}
27
7
設
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
7
a_1,a_2,a_3,\ldots,a_7
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
7
為等差數列，且滿足
1
0
a
3
=
2
10^{a_3}=2
1
0
a
3
=
2
、
1
0
a
5
=
5
10^{a_5}=5
1
0
a
5
=
5
。試選出正確的選項。
A
1
0
a
1
,
1
0
a
2
,
1
0
a
3
,
…
,
1
0
a
7
10^{a_1},10^{a_2},10^{a_3},\ldots,10^{a_7}
1
0
a
1
,
1
0
a
2
,
1
0
a
3
,
…
,
1
0
a
7
為等比數列
B
1
0
a
7
=
25
2
10^{a_7}=\dfrac{25}{2}
1
0
a
7
=
2
25
C
a
4
=
log
7
2
a_4=\log\dfrac{7}{2}
a
4
=
lo
g
2
7
D
a
1
>
0
a_1>0
a
1
>
0
E
∑
k
=
3
6
(
a
k
+
1
−
a
k
)
=
2
−
4
log
2
\sum_{k=3}^{6}(a_{k+1}-a_k)=2-4\log2
∑
k
=
3
6
(
a
k
+
1
−
a
k
)
=
2
−
4
lo
g
2
某甲收集某廠牌車輛
50
50
50
筆行車速率（公里／小時）與煞停距離（公尺）的數據，並以行車速率為
x
x
x
軸、煞停距離為
y
y
y
軸繪製成散布圖，如下圖所示，其中直線
L
L
L
為
y
y
y
對
x
x
x
的最適直線（迴歸直線）。
已知此
50
50
50
筆行車速率與煞停距離數據的平均數分別為
24.8
24.8
24.8
與
12.6
12.6
12.6
，相關係數為
0.8
0.8
0.8
，且直線
L
L
L
通過點
(
6.8
,
0
)
(6.8,0)
(
6.8
,
0
)
。試選出正確的選項。
A
直線
L
L
L
通過點
(
12.6
,
24.8
)
(12.6,24.8)
(
12.6
,
24.8
)
B
直線
L
L
L
的斜率為
0.8
0.8
0.8
C
當此廠牌車輛的行車速率為每小時
46.8
46.8
46.8
公里時，以最適直線
L
L
L
推估其煞停距離應為
28
28
28
公尺
D
設此
50
50
50
筆數據行車速率的標準差為
σ
x
\sigma_x
σ
x
（公里／小時），且煞停距離的標準差為
σ
y
\sigma_y
σ
y
（公尺），則
σ
x
>
σ
y
\sigma_x>\sigma_y
σ
x
>
σ
y
E
若此
50
50
50
筆數據改以煞停距離為
x
x
x
軸、行車速率為
y
y
y
軸，則
y
y
y
對
x
x
x
的最適直線斜率為
10
7
\dfrac{10}{7}
7
10
設二階實數方陣
I
=
[
1
0
0
1
]
I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}
I
=
[
1
0
0
1
]
、
A
=
[
a
1
0
1
]
A=\begin{bmatrix}a&1\\0&1\end{bmatrix}
A
=
[
a
0
1
1
]
。已知
A
2
+
2
A
=
3
I
A^2+2A=3I
A
2
+
2
A
=
3
I
，則
a
a
a
為
。
坐標平面上有四邊形
Γ
\Gamma
Γ
，其四個頂點分別為
(
6
,
1
)
(6,1)
(
6
,
1
)
、
(
5
,
5
)
(5,5)
(
5
,
5
)
、
(
2
,
7
)
(2,7)
(
2
,
7
)
和
(
−
1
,
8
)
(-1,8)
(
−
1
,
8
)
。若點
P
(
x
,
y
)
P(x,y)
P
(
x
,
y
)
在
Γ
\Gamma
Γ
的內部（含邊界），則
x
+
4
y
x+4y
x
+
4
y
的最大值為
。
箱中有編號分別為
1
,
2
,
3
,
…
,
10
1,2,3,\ldots,10
1
,
2
,
3
,
…
,
10
的卡片各一張，共
10
10
10
張卡片。從箱子中一次取出
6
6
6
張卡片，此
6
6
6
張卡片編號的中位數恰為
5
5
5
的組合共有
種。
某藥廠經營者希望能夠控制成本。假設當藥廠產量為
x
x
x
公斤時，總成本函數為
C
(
x
)
C(x)
C
(
x
)
（單位：萬元），其中
C
(
0
)
C(0)
C
(
0
)
稱為固定成本，
C
(
x
)
−
C
(
0
)
C(x)-C(0)
C
(
x
)
−
C
(
0
)
稱為變動成本函數。當
x
>
0
x>0
x
>
0
時，變動成本函數除以產量稱為平均變動成本函數
A
(
x
)
A(x)
A
(
x
)
（單位：萬元／公斤），即
A
(
x
)
=
C
(
x
)
−
C
(
0
)
x
A(x)=\dfrac{C(x)-C(0)}{x}
A
(
x
)
=
x
C
(
x
)
−
C
(
0
)
。今已知該藥廠的總成本函數為
C
(
x
)
=
x
3
−
12
x
2
+
60
x
+
42
C(x)=x^3-12x^2+60x+42
C
(
x
)
=
x
3
−
12
x
2
+
60
x
+
42
，其中
0
≤
x
≤
15
0\le x\le15
0
≤
x
≤
15
。根據上述，試回答下列問題。 試問此藥廠的固定成本為多少萬元？
A
12
12
12
B
42
42
42
C
60
60
60
D
90
90
90
E
91
91
91
某藥廠經營者希望能夠控制成本。假設當藥廠產量為
x
x
x
公斤時，總成本函數為
C
(
x
)
C(x)
C
(
x
)
（單位：萬元），其中
C
(
0
)
C(0)
C
(
0
)
稱為固定成本，
C
(
x
)
−
C
(
0
)
C(x)-C(0)
C
(
x
)
−
C
(
0
)
稱為變動成本函數。當
x
>
0
x>0
x
>
0
時，變動成本函數除以產量稱為平均變動成本函數
A
(
x
)
A(x)
A
(
x
)
（單位：萬元／公斤），即
A
(
x
)
=
C
(
x
)
−
C
(
0
)
x
A(x)=\dfrac{C(x)-C(0)}{x}
A
(
x
)
=
x
C
(
x
)
−
C
(
0
)
。今已知該藥廠的總成本函數為
C
(
x
)
=
x
3
−
12
x
2
+
60
x
+
42
C(x)=x^3-12x^2+60x+42
C
(
x
)
=
x
3
−
12
x
2
+
60
x
+
42
，其中
0
≤
x
≤
15
0\le x\le15
0
≤
x
≤
15
。根據上述，試回答下列問題。 當
0
<
x
≤
15
0<x\le15
0
<
x
≤
15
時，試求此藥廠的平均變動成本函數
A
(
x
)
A(x)
A
(
x
)
，並求右極限
lim
x
→
0
+
A
(
x
)
\lim_{x\to0^+}A(x)
lim
x
→
0
+
A
(
x
)
的值。
某藥廠經營者希望能夠控制成本。假設當藥廠產量為
x
x
x
公斤時，總成本函數為
C
(
x
)
C(x)
C
(
x
)
（單位：萬元），其中
C
(
0
)
C(0)
C
(
0
)
稱為固定成本，
C
(
x
)
−
C
(
0
)
C(x)-C(0)
C
(
x
)
−
C
(
0
)
稱為變動成本函數。當
x
>
0
x>0
x
>
0
時，變動成本函數除以產量稱為平均變動成本函數
A
(
x
)
A(x)
A
(
x
)
（單位：萬元／公斤），即
A
(
x
)
=
C
(
x
)
−
C
(
0
)
x
A(x)=\dfrac{C(x)-C(0)}{x}
A
(
x
)
=
x
C
(
x
)
−
C
(
0
)
。今已知該藥廠的總成本函數為
C
(
x
)
=
x
3
−
12
x
2
+
60
x
+
42
C(x)=x^3-12x^2+60x+42
C
(
x
)
=
x
3
−
12
x
2
+
60
x
+
42
，其中
0
≤
x
≤
15
0\le x\le15
0
≤
x
≤
15
。根據上述，試回答下列問題。 試求此藥廠的平均變動成本函數
A
(
x
)
A(x)
A
(
x
)
的最小值，並求此時藥廠產量為多少公斤？
坐標平面上有一向量
u
⃗
=
(
1
,
2
)
\vec{u}=(1,2)
u
=
(
1
,
2
)
及三點
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
4
,
2
)
B(4,2)
B
(
4
,
2
)
、
C
C
C
，其中點
C
C
C
位於第二象限。已知
u
⃗
\vec{u}
u
與向量
C
A
→
\overrightarrow{CA}
C
A
垂直，且
u
⃗
\vec{u}
u
與向量
C
B
→
\overrightarrow{CB}
CB
的夾角為
θ
\theta
θ
，其餘弦值為
cos
θ
=
1
10
\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}
cos
θ
=
10
1
。根據上述，試回答下列問題。 試問下列哪一個向量與向量
u
⃗
\vec{u}
u
垂直？
A
(
−
2
,
1
)
(-2,1)
(
−
2
,
1
)
B
(
−
1
,
0
)
(-1,0)
(
−
1
,
0
)
C
(
−
1
,
−
2
)
(-1,-2)
(
−
1
,
−
2
)
D
(
1
,
−
1
)
(1,-1)
(
1
,
−
1
)
E
(
2
,
1
)
(2,1)
(
2
,
1
)
坐標平面上有一向量
u
⃗
=
(
1
,
2
)
\vec{u}=(1,2)
u
=
(
1
,
2
)
及三點
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
4
,
2
)
B(4,2)
B
(
4
,
2
)
、
C
C
C
，其中點
C
C
C
位於第二象限。已知
u
⃗
\vec{u}
u
與向量
C
A
→
\overrightarrow{CA}
C
A
垂直，且
u
⃗
\vec{u}
u
與向量
C
B
→
\overrightarrow{CB}
CB
的夾角為
θ
\theta
θ
，其餘弦值為
cos
θ
=
1
10
\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}
cos
θ
=
10
1
。根據上述，試回答下列問題。 試求向量
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
以及
cos
∠
B
A
C
\cos\angle BAC
cos
∠
B
A
C
的值。
坐標平面上有一向量
u
⃗
=
(
1
,
2
)
\vec{u}=(1,2)
u
=
(
1
,
2
)
及三點
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A
(
1
,
1
)
、
B
(
4
,
2
)
B(4,2)
B
(
4
,
2
)
、
C
C
C
，其中點
C
C
C
位於第二象限。已知
u
⃗
\vec{u}
u
與向量
C
A
→
\overrightarrow{CA}
C
A
垂直，且
u
⃗
\vec{u}
u
與向量
C
B
→
\overrightarrow{CB}
CB
的夾角為
θ
\theta
θ
，其餘弦值為
cos
θ
=
1
10
\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}
cos
θ
=
10
1
。根據上述，試回答下列問題。 試求線段
B
C
‾
\overline{BC}
BC
的長度。
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