試選出 $\log_2(8\sqrt{2})-\log_2(4\sqrt{2})$ 的值。

設 $i=\sqrt{-1}$、複數 $z=2+i$、$w=1+i$。試問下列哪一個複數的絕對值等於 $5$？

一袋中有三顆球，球上分別印有號碼 $1,2,6$。假設每次抽球時，袋中每顆球被抽到的機率均相等，考慮以下三種情況： （甲）隨機抽出一顆球，設此球號碼的期望值為 $a$。 （乙）隨機抽出一顆球，記錄號碼後放回袋中，再隨機抽出一顆球，設前後兩顆球號碼平均數的期望值為 $b$。 （丙）隨機抽出一顆球，取後不放回，再隨機抽出另一顆球，設前後兩顆球號碼平均數的期望值為 $c$。 有關 $a,b,c$ 的大小關係，試選出正確的選項。

坐標平面上有一圓 $\Gamma$。已知直線 $L:y=x$ 與圓 $\Gamma$ 相切，且圓 $\Gamma$ 的圓心對直線 $L$ 的對稱點坐標為 $(5,3)$。試選出圓 $\Gamma$ 的方程式。

坐標空間中有一點 $A(6,8,-8)$。試問在 $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸這三條坐標軸上，總共有幾個點與點 $A$ 的距離等於 $10$？

設三次多項式 $f(x)=\int_0^x t(t-2)\,dt$。試問下列選項中，哪一個最有可能是函數 $y=f(x)$ 在坐標平面上的圖形？

根據經驗，某甲在閱讀某社群媒體上的文章時，對每篇文章是否「按讚」為獨立事件，且對每篇文章「按讚」的機率皆為 $\dfrac{1}{3}$。已知某甲在某日依序讀了 $4$ 篇文章。試選出正確的選項。

設 $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_7$ 為等差數列，且滿足 $10^{a_3}=2$、$10^{a_5}=5$。試選出正確的選項。

某甲收集某廠牌車輛 $50$ 筆行車速率（公里／小時）與煞停距離（公尺）的數據，並以行車速率為 $x$ 軸、煞停距離為 $y$ 軸繪製成散布圖，如下圖所示，其中直線 $L$ 為 $y$ 對 $x$ 的最適直線（迴歸直線）。 已知此 $50$ 筆行車速率與煞停距離數據的平均數分別為 $24.8$ 與 $12.6$，相關係數為 $0.8$，且直線 $L$ 通過點 $(6.8,0)$。試選出正確的選項。

設二階實數方陣 $I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$、$A=\begin{bmatrix}a&1\\0&1\end{bmatrix}$。已知 $A^2+2A=3I$，則 $a$ 為 。

坐標平面上有四邊形 $\Gamma$，其四個頂點分別為 $(6,1)$、$(5,5)$、$(2,7)$ 和 $(-1,8)$。若點 $P(x,y)$ 在 $\Gamma$ 的內部（含邊界），則 $x+4y$ 的最大值為 。

箱中有編號分別為 $1,2,3,\ldots,10$ 的卡片各一張，共 $10$ 張卡片。從箱子中一次取出 $6$ 張卡片，此 $6$ 張卡片編號的中位數恰為 $5$ 的組合共有 種。

某藥廠經營者希望能夠控制成本。假設當藥廠產量為 $x$ 公斤時，總成本函數為 $C(x)$（單位：萬元），其中 $C(0)$ 稱為固定成本，$C(x)-C(0)$ 稱為變動成本函數。當 $x>0$ 時，變動成本函數除以產量稱為平均變動成本函數 $A(x)$（單位：萬元／公斤），即 $A(x)=\dfrac{C(x)-C(0)}{x}$。今已知該藥廠的總成本函數為 $C(x)=x^3-12x^2+60x+42$，其中 $0\le x\le15$。根據上述，試回答下列問題。 試問此藥廠的固定成本為多少萬元？

某藥廠經營者希望能夠控制成本。假設當藥廠產量為 $x$ 公斤時，總成本函數為 $C(x)$（單位：萬元），其中 $C(0)$ 稱為固定成本，$C(x)-C(0)$ 稱為變動成本函數。當 $x>0$ 時，變動成本函數除以產量稱為平均變動成本函數 $A(x)$（單位：萬元／公斤），即 $A(x)=\dfrac{C(x)-C(0)}{x}$。今已知該藥廠的總成本函數為 $C(x)=x^3-12x^2+60x+42$，其中 $0\le x\le15$。根據上述，試回答下列問題。 當 $0<x\le15$ 時，試求此藥廠的平均變動成本函數 $A(x)$，並求右極限 $\lim_{x\to0^+}A(x)$ 的值。

某藥廠經營者希望能夠控制成本。假設當藥廠產量為 $x$ 公斤時，總成本函數為 $C(x)$（單位：萬元），其中 $C(0)$ 稱為固定成本，$C(x)-C(0)$ 稱為變動成本函數。當 $x>0$ 時，變動成本函數除以產量稱為平均變動成本函數 $A(x)$（單位：萬元／公斤），即 $A(x)=\dfrac{C(x)-C(0)}{x}$。今已知該藥廠的總成本函數為 $C(x)=x^3-12x^2+60x+42$，其中 $0\le x\le15$。根據上述，試回答下列問題。 試求此藥廠的平均變動成本函數 $A(x)$ 的最小值，並求此時藥廠產量為多少公斤？

坐標平面上有一向量 $\vec{u}=(1,2)$ 及三點 $A(1,1)$、$B(4,2)$、$C$，其中點 $C$ 位於第二象限。已知 $\vec{u}$ 與向量 $\overrightarrow{CA}$ 垂直，且 $\vec{u}$ 與向量 $\overrightarrow{CB}$ 的夾角為 $\theta$，其餘弦值為 $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$。根據上述，試回答下列問題。 試問下列哪一個向量與向量 $\vec{u}$ 垂直？

坐標平面上有一向量 $\vec{u}=(1,2)$ 及三點 $A(1,1)$、$B(4,2)$、$C$，其中點 $C$ 位於第二象限。已知 $\vec{u}$ 與向量 $\overrightarrow{CA}$ 垂直，且 $\vec{u}$ 與向量 $\overrightarrow{CB}$ 的夾角為 $\theta$，其餘弦值為 $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$。根據上述，試回答下列問題。 試求向量 $\overrightarrow{AB}$ 以及 $\cos\angle BAC$ 的值。

坐標平面上有一向量 $\vec{u}=(1,2)$ 及三點 $A(1,1)$、$B(4,2)$、$C$，其中點 $C$ 位於第二象限。已知 $\vec{u}$ 與向量 $\overrightarrow{CA}$ 垂直，且 $\vec{u}$ 與向量 $\overrightarrow{CB}$ 的夾角為 $\theta$，其餘弦值為 $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$。根據上述，試回答下列問題。 試求線段 $\overline{BC}$ 的長度。