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114-分科測驗-數學甲
中等
共 17 題
滿分 100 分
0
0
第 1 題
已作答 0/17
作答時間
00:00
交卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
坐標平面上，函數
y
=
sin
x
y=\sin x
y
=
sin
x
的圖形對稱於
x
=
π
2
x=\dfrac{\pi}{2}
x
=
2
π
，如圖所示。試選出在
0
<
θ
≤
π
0<\theta\le\pi
0
<
θ
≤
π
的範圍中滿足
sin
θ
=
sin
(
θ
+
π
5
)
\sin\theta=\sin(\theta+\dfrac{\pi}{5})
sin
θ
=
sin
(
θ
+
5
π
)
的
θ
\theta
θ
值。
A
π
5
\dfrac{\pi}{5}
5
π
B
2
π
5
\dfrac{2\pi}{5}
5
2
π
C
3
π
5
\dfrac{3\pi}{5}
5
3
π
D
4
π
5
\dfrac{4\pi}{5}
5
4
π
E
π
\pi
π
空間中一正立方體
A
B
C
D
−
E
F
G
H
ABCD-EFGH
A
BC
D
−
EFG
H
，其中頂點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
在同一個平面上，且
A
E
‾
\overline{AE}
A
E
為其中一個邊，如圖所示。下列選項中，試選出與平面
B
G
H
BGH
BG
H
以及平面
C
F
E
CFE
CFE
皆垂直的平面。
A
平面
A
D
H
ADH
A
DH
B
平面
B
C
D
BCD
BC
D
C
平面
C
D
G
CDG
C
D
G
D
平面
D
F
G
DFG
D
FG
E
平面
D
F
H
DFH
D
F
H
《幾何原本》上說：「給定相異兩點可決定一條直線」。一般來說，相異三點可決定
(
3
2
)
=
3
\binom{3}{2}=3
(
2
3
)
=
3
條直線；但若這三點共線，此時僅決定一條直線。坐標平面上，已知圓
Γ
1
:
x
2
+
y
2
=
4
\Gamma_1:x^2+y^2=4
Γ
1
:
x
2
+
y
2
=
4
與兩坐標軸交於
4
4
4
點、圓
Γ
2
:
x
2
+
y
2
=
2
\Gamma_2:x^2+y^2=2
Γ
2
:
x
2
+
y
2
=
2
與直線
x
−
y
=
0
x-y=0
x
−
y
=
0
交於
2
2
2
點、圓
Γ
2
\Gamma_2
Γ
2
與直線
x
+
y
=
0
x+y=0
x
+
y
=
0
交於
2
2
2
點。試問這
8
8
8
點共可決定幾條不同的直線？
A
12
12
12
B
16
16
16
C
20
20
20
D
24
24
24
E
28
28
28
試從下列坐標平面上的二次曲線中，選出與所有的鉛直線都相交的選項。
A
x
2
9
+
y
2
4
=
1
\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1
9
x
2
+
4
y
2
=
1
B
x
2
9
−
y
2
4
=
1
\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=1
9
x
2
−
4
y
2
=
1
C
−
x
2
9
+
y
2
4
=
1
-\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1
−
9
x
2
+
4
y
2
=
1
D
y
=
4
9
x
2
y=\dfrac{4}{9}x^2
y
=
9
4
x
2
E
x
=
4
9
y
2
x=\dfrac{4}{9}y^2
x
=
9
4
y
2
有一實數數列
⟨
a
n
⟩
\langle a_n\rangle
⟨
a
n
⟩
，其中
a
n
=
cos
(
n
π
−
π
6
)
a_n=\cos(n\pi-\dfrac{\pi}{6})
a
n
=
cos
(
nπ
−
6
π
)
，
n
n
n
為正整數。試選出正確的選項。
A
a
1
=
−
1
2
a_1=-\dfrac{1}{2}
a
1
=
−
2
1
B
a
2
=
a
3
a_2=a_3
a
2
=
a
3
C
a
4
=
a
24
a_4=a_{24}
a
4
=
a
24
D
⟨
a
n
⟩
\langle a_n\rangle
⟨
a
n
⟩
為收斂數列，且
lim
n
→
∞
a
n
<
1
\lim_{n\to\infty}a_n<1
lim
n
→
∞
a
n
<
1
E
∑
n
=
1
∞
(
a
n
)
n
=
3
−
2
3
\sum_{n=1}^{\infty}(a_n)^n=3-2\sqrt{3}
∑
n
=
1
∞
(
a
n
)
n
=
3
−
2
3
設指數函數
f
(
x
)
=
1.
2
x
f(x)=1.2^x
f
(
x
)
=
1.
2
x
。試選出正確的選項。
A
f
(
0
)
>
0
f(0)>0
f
(
0
)
>
0
B
f
(
10
)
>
10
f(10)>10
f
(
10
)
>
10
C
坐標平面上，
y
=
1.
2
x
y=1.2^x
y
=
1.
2
x
的圖形與直線
y
=
x
y=x
y
=
x
相交
D
坐標平面上，
y
=
1.
2
x
y=1.2^x
y
=
1.
2
x
與
y
=
log
(
1.
2
x
)
y=\log(1.2^x)
y
=
lo
g
(
1.
2
x
)
的圖形對稱於直線
y
=
x
y=x
y
=
x
E
對任意正實數
b
b
b
，
log
1.2
b
≠
1.
2
b
\log_{1.2}b\ne 1.2^b
lo
g
1.2
b
=
1.
2
b
已知實係數多項式
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的次數大於
5
5
5
，且其最高次項係數為正。又
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在
x
=
1
x=1
x
=
1
、
2
2
2
、
4
4
4
處有極小值，且在
x
=
3
x=3
x
=
3
、
5
5
5
處有極大值。根據上述，試選出正確的選項。
A
f
(
1
)
<
f
(
3
)
f(1)<f(3)
f
(
1
)
<
f
(
3
)
B
存在實數
a
,
b
a,b
a
,
b
滿足
1
<
a
<
b
<
2
1<a<b<2
1
<
a
<
b
<
2
，使得
f
′
(
a
)
>
0
f'(a)>0
f
′
(
a
)
>
0
且
f
′
(
b
)
<
0
f'(b)<0
f
′
(
b
)
<
0
C
f
′
′
(
3
)
>
0
f''(3)>0
f
′′
(
3
)
>
0
D
存在實數
c
>
5
c>5
c
>
5
，使得
f
′
(
c
)
>
0
f'(c)>0
f
′
(
c
)
>
0
E
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的次數大於
7
7
7
設複數
z
z
z
的虛部不為
0
0
0
且
∣
z
∣
=
2
|z|=2
∣
z
∣
=
2
。已知在複數平面上，
1
1
1
、
z
z
z
、
z
3
z^3
z
3
共線。試選出正確的選項。
A
z
⋅
z
‾
=
2
z\cdot\overline z=2
z
⋅
z
=
2
B
z
3
−
z
z
−
1
\dfrac{z^3-z}{z-1}
z
−
1
z
3
−
z
的虛部為
0
0
0
C
z
z
z
的實部為
−
1
2
-\dfrac{1}{2}
−
2
1
D
z
z
z
滿足
z
2
−
z
+
4
=
0
z^2-z+4=0
z
2
−
z
+
4
=
0
E
在複數平面上，
−
2
-2
−
2
、
z
z
z
、
z
2
z^2
z
2
共線
令
A
A
A
為以原點為中心逆時針旋轉
θ
\theta
θ
角的旋轉矩陣，且令
B
B
B
為以
x
x
x
軸為鏡射軸（對稱軸）的鏡射矩陣。令
A
=
[
a
1
a
2
a
3
a
4
]
A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}
A
=
[
a
1
a
3
a
2
a
4
]
、
B
A
=
[
c
1
c
2
c
3
c
4
]
BA=\begin{bmatrix}c_1&c_2\\c_3&c_4\end{bmatrix}
B
A
=
[
c
1
c
3
c
2
c
4
]
。已知
a
1
+
a
2
+
a
3
+
a
4
=
2
(
c
1
+
c
2
+
c
3
+
c
4
)
a_1+a_2+a_3+a_4=2(c_1+c_2+c_3+c_4)
a
1
+
a
2
+
a
3
+
a
4
=
2
(
c
1
+
c
2
+
c
3
+
c
4
)
，則
tan
θ
\tan\theta
tan
θ
為何？（化為最簡分數） 答案：
坐標空間中一平面與平面
x
=
0
x=0
x
=
0
、平面
z
=
0
z=0
z
=
0
分別交於直線
L
1
L_1
L
1
、
L
2
L_2
L
2
。已知
L
1
L_1
L
1
、
L
2
L_2
L
2
互相平行，且
L
1
L_1
L
1
通過點
(
0
,
2
,
−
11
)
(0,2,-11)
(
0
,
2
,
−
11
)
、
L
2
L_2
L
2
通過點
(
8
,
21
,
0
)
(8,21,0)
(
8
,
21
,
0
)
，則
L
1
L_1
L
1
、
L
2
L_2
L
2
的距離為何？（化為最簡根式） 答案：
坐標平面上有一平行四邊形
Γ
\Gamma
Γ
，其中兩邊所在的直線與
5
x
−
y
=
0
5x-y=0
5
x
−
y
=
0
平行、另兩邊所在的直線與
3
x
−
2
y
=
0
3x-2y=0
3
x
−
2
y
=
0
垂直。令
Γ
\Gamma
Γ
的兩對角線交點為
Q
Q
Q
。已知
Γ
\Gamma
Γ
有一頂點
P
P
P
，滿足
P
Q
→
=
(
10
,
−
1
)
\overrightarrow{PQ}=(10,-1)
PQ
=
(
10
,
−
1
)
，則
Γ
\Gamma
Γ
的面積為何？ 答案：
某商店以抽獎方式販售一熱門公仔，每次抽獎都互相獨立且抽中的機率為
2
5
\dfrac{2}{5}
5
2
。參加者可用以下兩種方式參加抽獎。 方式一：先付
225
225
225
元得到兩次抽獎機會，只要抽中即停止抽獎且得到一個公仔；若這兩次皆未抽中，則必須再多付
75
75
75
元得到一個公仔。 方式二：抽獎次數不限，每抽獎一次付
100
100
100
元。 根據上述，試回答下列問題。 若以方式一抽獎，則共需付
300
300
300
元才能得到一個公仔的機率為何？
A
(
2
5
)
2
(\dfrac{2}{5})^2
(
5
2
)
2
B
(
2
5
)
3
(\dfrac{2}{5})^3
(
5
2
)
3
C
(
3
5
)
2
(\dfrac{3}{5})^2
(
5
3
)
2
D
(
3
5
)
3
(\dfrac{3}{5})^3
(
5
3
)
3
E
(
2
5
)
(
3
5
)
2
(\dfrac{2}{5})(\dfrac{3}{5})^2
(
5
2
)
(
5
3
)
2
某商店以抽獎方式販售一熱門公仔，每次抽獎都互相獨立且抽中的機率為
2
5
\dfrac{2}{5}
5
2
。參加者可用以下兩種方式參加抽獎。 方式一：先付
225
225
225
元得到兩次抽獎機會，只要抽中即停止抽獎且得到一個公仔；若這兩次皆未抽中，則必須再多付
75
75
75
元得到一個公仔。 方式二：抽獎次數不限，每抽獎一次付
100
100
100
元。 根據上述，試回答下列問題。 若以方式二抽獎直到抽中一個公仔為止，試依期望值定義，使用
∑
\sum
∑
符號表示所需抽獎次數的期望值，並求其值。
某商店以抽獎方式販售一熱門公仔，每次抽獎都互相獨立且抽中的機率為
2
5
\dfrac{2}{5}
5
2
。參加者可用以下兩種方式參加抽獎。 方式一：先付
225
225
225
元得到兩次抽獎機會，只要抽中即停止抽獎且得到一個公仔；若這兩次皆未抽中，則必須再多付
75
75
75
元得到一個公仔。 方式二：抽獎次數不限，每抽獎一次付
100
100
100
元。 根據上述，試回答下列問題。 假設花費金額不設限直到得到一個公仔為止，試分別求出這兩種抽獎方式得到一個公仔所需付金額的期望值，並說明這兩個期望值的大小關係。
設實係數多項式函數
f
(
x
)
=
3
a
x
2
+
(
1
−
a
)
f(x)=3ax^2+(1-a)
f
(
x
)
=
3
a
x
2
+
(
1
−
a
)
，其中
−
1
2
≤
a
≤
1
-\dfrac{1}{2}\le a\le1
−
2
1
≤
a
≤
1
。在坐標平面上，令
Γ
\Gamma
Γ
為
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
與
x
x
x
軸在
−
1
≤
x
≤
1
-1\le x\le1
−
1
≤
x
≤
1
所圍的區域。根據上述，試回答下列問題。 證明當
−
1
≤
x
≤
1
-1\le x\le1
−
1
≤
x
≤
1
時，
f
(
x
)
≥
0
f(x)\ge0
f
(
x
)
≥
0
皆成立。
設實係數多項式函數
f
(
x
)
=
3
a
x
2
+
(
1
−
a
)
f(x)=3ax^2+(1-a)
f
(
x
)
=
3
a
x
2
+
(
1
−
a
)
，其中
−
1
2
≤
a
≤
1
-\dfrac{1}{2}\le a\le1
−
2
1
≤
a
≤
1
。在坐標平面上，令
Γ
\Gamma
Γ
為
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
與
x
x
x
軸在
−
1
≤
x
≤
1
-1\le x\le1
−
1
≤
x
≤
1
所圍的區域。根據上述，試回答下列問題。 證明對於所有
a
∈
[
−
1
2
,
1
]
a\in[-\dfrac{1}{2},1]
a
∈
[
−
2
1
,
1
]
，
Γ
\Gamma
Γ
的面積皆為
2
2
2
。
設實係數多項式函數
f
(
x
)
=
3
a
x
2
+
(
1
−
a
)
f(x)=3ax^2+(1-a)
f
(
x
)
=
3
a
x
2
+
(
1
−
a
)
，其中
−
1
2
≤
a
≤
1
-\dfrac{1}{2}\le a\le1
−
2
1
≤
a
≤
1
。在坐標平面上，令
Γ
\Gamma
Γ
為
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
與
x
x
x
軸在
−
1
≤
x
≤
1
-1\le x\le1
−
1
≤
x
≤
1
所圍的區域。根據上述，試回答下列問題。 令
V
V
V
為
Γ
\Gamma
Γ
繞
x
x
x
軸旋轉所得旋轉體的體積。試問對所有
a
∈
[
−
1
2
,
1
]
a\in[-\dfrac{1}{2},1]
a
∈
[
−
2
1
,
1
]
，
V
V
V
是否都相等？若相等，則求其值；若不相等，則當
a
a
a
為多少時，
V
V
V
有最大值，並求此最大值。
上一題
可用 ← → 鍵切換題目
下一題
