坐標平面上，函數 $y=\sin x$ 的圖形對稱於 $x=\dfrac{\pi}{2}$，如圖所示。試選出在 $0<\theta\le\pi$ 的範圍中滿足 $\sin\theta=\sin(\theta+\dfrac{\pi}{5})$ 的 $\theta$ 值。

空間中一正立方體 $ABCD-EFGH$，其中頂點 $A$、$B$、$C$、$D$ 在同一個平面上，且 $\overline{AE}$ 為其中一個邊，如圖所示。下列選項中，試選出與平面 $BGH$ 以及平面 $CFE$ 皆垂直的平面。

《幾何原本》上說：「給定相異兩點可決定一條直線」。一般來說，相異三點可決定 $\binom{3}{2}=3$ 條直線；但若這三點共線，此時僅決定一條直線。坐標平面上，已知圓 $\Gamma_1:x^2+y^2=4$ 與兩坐標軸交於 $4$ 點、圓 $\Gamma_2:x^2+y^2=2$ 與直線 $x-y=0$ 交於 $2$ 點、圓 $\Gamma_2$ 與直線 $x+y=0$ 交於 $2$ 點。試問這 $8$ 點共可決定幾條不同的直線？

試從下列坐標平面上的二次曲線中，選出與所有的鉛直線都相交的選項。

有一實數數列 $\langle a_n\rangle$，其中 $a_n=\cos(n\pi-\dfrac{\pi}{6})$，$n$ 為正整數。試選出正確的選項。

設指數函數 $f(x)=1.2^x$。試選出正確的選項。

已知實係數多項式 $f(x)$ 的次數大於 $5$，且其最高次項係數為正。又 $f(x)$ 在 $x=1$、$2$、$4$ 處有極小值，且在 $x=3$、$5$ 處有極大值。根據上述，試選出正確的選項。

設複數 $z$ 的虛部不為 $0$ 且 $|z|=2$。已知在複數平面上，$1$、$z$、$z^3$ 共線。試選出正確的選項。

令 $A$ 為以原點為中心逆時針旋轉 $\theta$ 角的旋轉矩陣，且令 $B$ 為以 $x$ 軸為鏡射軸（對稱軸）的鏡射矩陣。令 $A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}$、$BA=\begin{bmatrix}c_1&c_2\\c_3&c_4\end{bmatrix}$。已知 $a_1+a_2+a_3+a_4=2(c_1+c_2+c_3+c_4)$，則 $\tan\theta$ 為何？（化為最簡分數） 答案：

坐標空間中一平面與平面 $x=0$、平面 $z=0$ 分別交於直線 $L_1$、$L_2$。已知 $L_1$、$L_2$ 互相平行，且 $L_1$ 通過點 $(0,2,-11)$、$L_2$ 通過點 $(8,21,0)$，則 $L_1$、$L_2$ 的距離為何？（化為最簡根式） 答案：

坐標平面上有一平行四邊形 $\Gamma$，其中兩邊所在的直線與 $5x-y=0$ 平行、另兩邊所在的直線與 $3x-2y=0$ 垂直。令 $\Gamma$ 的兩對角線交點為 $Q$。已知 $\Gamma$ 有一頂點 $P$，滿足 $\overrightarrow{PQ}=(10,-1)$，則 $\Gamma$ 的面積為何？ 答案：

某商店以抽獎方式販售一熱門公仔，每次抽獎都互相獨立且抽中的機率為 $\dfrac{2}{5}$。參加者可用以下兩種方式參加抽獎。 方式一：先付 $225$ 元得到兩次抽獎機會，只要抽中即停止抽獎且得到一個公仔；若這兩次皆未抽中，則必須再多付 $75$ 元得到一個公仔。 方式二：抽獎次數不限，每抽獎一次付 $100$ 元。 根據上述，試回答下列問題。 若以方式一抽獎，則共需付 $300$ 元才能得到一個公仔的機率為何？

某商店以抽獎方式販售一熱門公仔，每次抽獎都互相獨立且抽中的機率為 $\dfrac{2}{5}$。參加者可用以下兩種方式參加抽獎。 方式一：先付 $225$ 元得到兩次抽獎機會，只要抽中即停止抽獎且得到一個公仔；若這兩次皆未抽中，則必須再多付 $75$ 元得到一個公仔。 方式二：抽獎次數不限，每抽獎一次付 $100$ 元。 根據上述，試回答下列問題。 若以方式二抽獎直到抽中一個公仔為止，試依期望值定義，使用 $\sum$ 符號表示所需抽獎次數的期望值，並求其值。

某商店以抽獎方式販售一熱門公仔，每次抽獎都互相獨立且抽中的機率為 $\dfrac{2}{5}$。參加者可用以下兩種方式參加抽獎。 方式一：先付 $225$ 元得到兩次抽獎機會，只要抽中即停止抽獎且得到一個公仔；若這兩次皆未抽中，則必須再多付 $75$ 元得到一個公仔。 方式二：抽獎次數不限，每抽獎一次付 $100$ 元。 根據上述，試回答下列問題。 假設花費金額不設限直到得到一個公仔為止，試分別求出這兩種抽獎方式得到一個公仔所需付金額的期望值，並說明這兩個期望值的大小關係。

設實係數多項式函數 $f(x)=3ax^2+(1-a)$，其中 $-\dfrac{1}{2}\le a\le1$。在坐標平面上，令 $\Gamma$ 為 $y=f(x)$ 與 $x$ 軸在 $-1\le x\le1$ 所圍的區域。根據上述，試回答下列問題。 證明當 $-1\le x\le1$ 時，$f(x)\ge0$ 皆成立。

設實係數多項式函數 $f(x)=3ax^2+(1-a)$，其中 $-\dfrac{1}{2}\le a\le1$。在坐標平面上，令 $\Gamma$ 為 $y=f(x)$ 與 $x$ 軸在 $-1\le x\le1$ 所圍的區域。根據上述，試回答下列問題。 證明對於所有 $a\in[-\dfrac{1}{2},1]$，$\Gamma$ 的面積皆為 $2$。

設實係數多項式函數 $f(x)=3ax^2+(1-a)$，其中 $-\dfrac{1}{2}\le a\le1$。在坐標平面上，令 $\Gamma$ 為 $y=f(x)$ 與 $x$ 軸在 $-1\le x\le1$ 所圍的區域。根據上述，試回答下列問題。 令 $V$ 為 $\Gamma$ 繞 $x$ 軸旋轉所得旋轉體的體積。試問對所有 $a\in[-\dfrac{1}{2},1]$，$V$ 是否都相等？若相等，則求其值；若不相等，則當 $a$ 為多少時，$V$ 有最大值，並求此最大值。