如右圖所示，有一 $\triangle ABC$，已知 $\overline{BC}$ 邊上的高 $\overline{AD} = 12$，且 $\tan \angle B = \dfrac{3}{2}$，$\tan \angle C = \dfrac{2}{3}$。試問 $\overline{BC}$ 的長度為何？

坐標平面上，橢圓 $\Gamma$ 的方程式為 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{6^2} = 1$（其中 $a$ 為正實數）。若將 $\Gamma$ 以原點 $O$ 為中心，沿 $x$ 軸方向伸縮為 2 倍，沿 $y$ 軸方向伸縮為 3 倍後，所得的 新圖形會通過點 $(18, 0)$。試問下列哪一個選項是 $\Gamma$ 的焦點？

想在 $5 \times 5$ 的棋盤上擺放 4 個相同的西洋棋的城堡棋子。由於城堡會將同一行或同一列的棋子吃掉，故擺放時規定每一行與每一列最多只能擺放一個城堡。在第一列的第一、三、五格（如圖示畫叉的格子）不擺放的情況下，試問共有多少種擺放方式？

一遊戲廠商將舉辦抽獎活動，廠商公告每次抽獎需使用掉一個代幣，且每次抽獎的中獎機率皆為 $\dfrac{1}{10}$。某甲決定先存若干個代幣，並在活動開始後進行抽獎，直到用完所有代幣才停止。試選出正確的選項。

設 $f(x)$ 為三次實係數多項式。已知 $f(2 - 3i) = 0$ （其中 $i = \sqrt{-1}$），且 $f(x)$ 除以 $x^2 + x - 2$ 的餘式為 $18$。試選出正確的選項。

坐標空間中，考慮滿足內積 $\vec{u} \cdot \vec{v} = 15$ 與外積 $\vec{u} \times \vec{v} = (-1, 0, 3)$ 的兩向量 $\vec{u}$、$\vec{v}$。試選出正確的選項。

坐標平面上，考慮兩函數 $f(x) = x^5 - 5x^3 + 5x^2 + 5$ 與 $g(x) = \sin\left(\dfrac{\pi x}{3} + \dfrac{\pi}{2}\right)$ 的函數圖形（其中 $\pi$ 為圓周率）。試選出正確的選項。

設 $z$ 為非零複數，且設 $\alpha = \lvert{z}\rvert$，其中 $\beta$ 為 $z$ 的輻角，$0 \leq \beta < 2\pi$ （其中 $\pi$ 為圓周率）。對任一正整數 $n$，設實數 $x_n$ 與 $y_n$ 分別為 $z^n$ 的實部與虛部。試選出正確選項。

設 $a, b, c, d$ 為實數。已知兩聯立方程組： $\begin{cases} ax + by = 2 \\ cx + dy = 1 \end{cases}, \quad \begin{cases} ax + by = -1 \\ cx + dy = -1 \end{cases}$ 的增廣矩陣經過相同的列運算後，分別得到： $$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},$$ 則聯立方程組 $$\begin{cases} ax + by = 0 \\ cx + dy = 1 \end{cases}$$ 的解為： $x =$ ，$y =$ 。

坐標平面上，設 $\Gamma$ 為以原點為圓心的圓，$P$ 為 $\Gamma$ 與 $x$ 軸的其中一個交點。已知通過 $P$ 點且斜率為 $\dfrac{1}{2}$ 的直線交 $\Gamma$ 於另一點 $Q$，且 $\overline{PQ} = 1$，則 $\Gamma$ 的半徑為 。（化為最簡根式 ）

設實數 $a_1, a_2, \dots, a_9$ 是公差為 $2$ 的等差數列，其中 $a_1 \neq 0$ 且 $a_3 > 0$。若 $\log_2 a_3, \log_2 b, \log_2 a_9$ 三數依序也成等差數列，其中 $b$ 為 $a_4, a_5, a_6, a_7, a_8$ 中之一數，則 $a_9 =$ 。（化為最簡分數 ）

坐標空間中，考慮三個平面 $E_1: x + y + z = 7$, $E_2: x - y + z = 3$, $E_3: x - y - z = -5$。令 $E_1$ 與 $E_2$ 相交的直線為 $L_3$；$E_2$ 與 $E_3$ 相交的直線為 $L_1$；$E_3$ 與 $E_1$ 相交的直線為 $L_2$。根據上述，試回答下列問題：

在坐標平面上，設 $\Gamma$ 為三次函數 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 4$ 的函數圖形。根據上述，試回答下列問題。