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113-分科測驗-數學A
中等
共 13 題
滿分 100 分
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第 1 題
已作答 0/17
作答時間
00:00
顯示答案
交卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
如右圖所示，有一
△
A
B
C
\triangle ABC
△
A
BC
，已知
B
C
‾
\overline{BC}
BC
邊上的高
A
D
‾
=
12
\overline{AD} = 12
A
D
=
12
，且
tan
∠
B
=
3
2
\tan \angle B = \dfrac{3}{2}
tan
∠
B
=
2
3
，
tan
∠
C
=
2
3
\tan \angle C = \dfrac{2}{3}
tan
∠
C
=
3
2
。試問
B
C
‾
\overline{BC}
BC
的長度為何？
A
20
20
20
B
21
21
21
C
24
24
24
D
25
25
25
E
26
26
26
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
坐標平面上，橢圓
Γ
\Gamma
Γ
的方程式為
x
2
a
2
+
y
2
6
2
=
1
\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{6^2} = 1
a
2
x
2
+
6
2
y
2
=
1
（其中
a
a
a
為正實數）。若將
Γ
\Gamma
Γ
以原點
O
O
O
為中心，沿
x
x
x
軸方向伸縮為 2 倍，沿
y
y
y
軸方向伸縮為 3 倍後，所得的 新圖形會通過點
(
18
,
0
)
(18, 0)
(
18
,
0
)
。試問下列哪一個選項是
Γ
\Gamma
Γ
的焦點？
A
(
0
,
3
3
)
(0, 3\sqrt{3})
(
0
,
3
3
)
B
(
−
3
5
,
0
)
(-3\sqrt{5}, 0)
(
−
3
5
,
0
)
C
(
0
,
6
13
)
(0, 6\sqrt{13})
(
0
,
6
13
)
D
(
−
3
13
,
0
)
(-3\sqrt{13}, 0)
(
−
3
13
,
0
)
E
(
9
,
0
)
(9, 0)
(
9
,
0
)
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
想在
5
×
5
5 \times 5
5
×
5
的棋盤上擺放 4 個相同的西洋棋的城堡棋子。由於城堡會將同一行或同一列的棋子吃掉，故擺放時規定每一行與每一列最多只能擺放一個城堡。在第一列的第一、三、五格（如圖示畫叉的格子）不擺放的情況下，試問共有多少種擺放方式？
A
216
216
216
B
240
240
240
C
288
288
288
D
312
312
312
E
360
360
360
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
一遊戲廠商將舉辦抽獎活動，廠商公告每次抽獎需使用掉一個代幣，且每次抽獎的中獎機率皆為
1
10
\dfrac{1}{10}
10
1
。某甲決定先存若干個代幣，並在活動開始後進行抽獎，直到用完所有代幣才停止。試選出正確的選項。
A
某甲中獎一次所需要抽獎次數的期望值為
10
10
10
B
某甲抽獎兩次就中獎一次以上的機率為
0.2
0.2
0.2
C
某甲抽獎
10
10
10
次都沒中獎的機率小於抽獎
1
1
1
次就中獎的機率
D
某甲至少要存
22
22
22
個代幣，才能保證中獎的機率大於
0.9
0.9
0.9
E
某甲只要存足夠多的代幣，就可以保證中獎的機率為
1
1
1
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
設
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
為三次實係數多項式。已知
f
(
−
2
−
3
i
)
=
0
f(-2 - 3i) = 0
f
(
−
2
−
3
i
)
=
0
（其中
i
=
−
1
i = \sqrt{-1}
i
=
−
1
），且
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
除以
x
2
+
x
−
2
x^2 + x - 2
x
2
+
x
−
2
的餘式為
18
18
18
。試選出正確的選項。
A
f
(
2
+
3
i
)
=
0
f(2 + 3i) = 0
f
(
2
+
3
i
)
=
0
B
f
(
−
2
)
=
18
f(-2) = 18
f
(
−
2
)
=
18
C
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的三次項係數為負
D
f
(
x
)
=
0
f(x) = 0
f
(
x
)
=
0
恰有一正實根
E
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
圖形的對稱中心在第一象限
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
坐標空間中，考慮滿足內積
u
⃗
⋅
v
⃗
=
15
\vec{u} \cdot \vec{v} = 15
u
⋅
v
=
15
與外積
u
⃗
×
v
⃗
=
(
−
1
,
0
,
3
)
\vec{u} \times \vec{v} = (-1, 0, 3)
u
×
v
=
(
−
1
,
0
,
3
)
的兩向量
u
⃗
\vec{u}
u
、
v
⃗
\vec{v}
v
。試選出正確的選項。
A
u
⃗
\vec{u}
u
與
v
⃗
\vec{v}
v
的夾角
θ
\theta
θ
（其中
0
≤
θ
≤
π
0 \leq \theta \leq \pi
0
≤
θ
≤
π
，
π
\pi
π
為圓周率）大於
π
4
\dfrac{\pi}{4}
4
π
B
u
⃗
\vec{u}
u
可能為
(
1
,
0
,
−
1
)
(1, 0, -1)
(
1
,
0
,
−
1
)
C
∣
u
⃗
∣
+
∣
v
⃗
∣
≥
2
5
|\vec{u}| + |\vec{v}| \geq 2\sqrt{5}
∣
u
∣
+
∣
v
∣
≥
2
5
D
若已知
v
⃗
\vec{v}
v
，則
u
⃗
\vec{u}
u
可以被唯一決定
E
若已知
∣
u
⃗
∣
+
∣
v
⃗
∣
|\vec{u}| + |\vec{v}|
∣
u
∣
+
∣
v
∣
，則
∣
v
⃗
∣
|\vec{v}|
∣
v
∣
可以被唯一決定
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
坐標平面上，考慮兩函數
f
(
x
)
=
x
5
−
5
x
3
+
5
x
2
+
5
f(x) = x^5 - 5x^3 + 5x^2 + 5
f
(
x
)
=
x
5
−
5
x
3
+
5
x
2
+
5
與
g
(
x
)
=
sin
(
π
x
3
+
π
2
)
g(x) = \sin\left(\dfrac{\pi x}{3} + \dfrac{\pi}{2}\right)
g
(
x
)
=
sin
(
3
π
x
+
2
π
)
的函數圖形（其中
π
\pi
π
為圓周率）。試選出正確的選項。
A
f
′
(
1
)
=
0
f'(1) = 0
f
′
(
1
)
=
0
B
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
在閉區間
[
0
,
2
]
[0, 2]
[
0
,
2
]
為遞增
C
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
在閉區間
[
0
,
2
]
[0, 2]
[
0
,
2
]
為凹向上
D
對任意實數
x
x
x
，
g
(
x
+
6
π
)
=
g
(
x
)
g(x + 6\pi) = g(x)
g
(
x
+
6
π
)
=
g
(
x
)
E
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y
=
f
(
x
)
與
y
=
g
(
x
)
y = g(x)
y
=
g
(
x
)
在閉區間
[
3
,
4
]
[3, 4]
[
3
,
4
]
皆為遞增
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
設
z
z
z
為非零複數，且設
α
=
∣
z
∣
\alpha = \lvert{z}\rvert
α
=
∣
z
∣
，其中
β
\beta
β
為
z
z
z
的輻角，
0
≤
β
<
2
π
0 \leq \beta < 2\pi
0
≤
β
<
2
π
（其中
π
\pi
π
為圓周率）。對任一正整數
n
n
n
，設實數
x
n
x_n
x
n
與
y
n
y_n
y
n
分別為
z
n
z^n
z
n
的實部與虛部。試選出正確選項。
A
若
α
=
1
\alpha = 1
α
=
1
且
β
=
3
π
7
\beta = \dfrac{3\pi}{7}
β
=
7
3
π
，則
x
10
=
x
3
x_{10} = x_3
x
10
=
x
3
B
若
y
3
=
0
y_3 = 0
y
3
=
0
，則
y
6
=
0
y_6 = 0
y
6
=
0
C
若
x
3
=
1
x_3 = 1
x
3
=
1
，則
x
6
=
1
x_6 = 1
x
6
=
1
D
若數列
⟨
y
n
⟩
\langle y_n \rangle
⟨
y
n
⟩
收斂，則
α
≤
1
\alpha \leq 1
α
≤
1
E
若數列
⟨
x
n
⟩
\langle x_n \rangle
⟨
x
n
⟩
收斂，則數列
⟨
y
n
⟩
\langle y_n \rangle
⟨
y
n
⟩
也收斂
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
設
a
,
b
,
c
,
d
a, b, c, d
a
,
b
,
c
,
d
為實數。已知兩聯立方程組：
{
a
x
+
b
y
=
2
c
x
+
d
y
=
1
,
{
a
x
+
b
y
=
−
1
c
x
+
d
y
=
−
1
\begin{cases} ax + by = 2 \\ cx + dy = 1 \end{cases}, \quad \begin{cases} ax + by = -1 \\ cx + dy = -1 \end{cases}
{
a
x
+
b
y
=
2
c
x
+
d
y
=
1
,
{
a
x
+
b
y
=
−
1
c
x
+
d
y
=
−
1
的增廣矩陣經過相同的列運算後，分別得到：
[
1
−
1
3
0
1
2
]
,
[
1
−
1
2
0
1
−
1
]
,
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},
[
1
0
−
1
1
3
2
]
,
[
1
0
−
1
1
2
−
1
]
,
則聯立方程組
{
a
x
+
b
y
=
0
c
x
+
d
y
=
1
\begin{cases} ax + by = 0 \\ cx + dy = 1 \end{cases}
{
a
x
+
b
y
=
0
c
x
+
d
y
=
1
的解為：
x
=
x =
x
=
，
y
=
y =
y
=
。
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
坐標平面上，設
Γ
\Gamma
Γ
為以原點為圓心的圓，
P
P
P
為
Γ
\Gamma
Γ
與
x
x
x
軸的其中一個交點。已知通過
P
P
P
點且斜率為
1
2
\dfrac{1}{2}
2
1
的直線交
Γ
\Gamma
Γ
於另一點
Q
Q
Q
，且
P
Q
‾
=
1
\overline{PQ} = 1
PQ
=
1
，則
Γ
\Gamma
Γ
的半徑為
。（化為最簡根式 ）
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
設實數
a
1
,
a
2
,
…
,
a
9
a_1, a_2, \dots, a_9
a
1
,
a
2
,
…
,
a
9
是公差為
2
2
2
的等差數列，其中
a
1
≠
0
a_1 \neq 0
a
1
=
0
且
a
3
>
0
a_3 > 0
a
3
>
0
。若
log
2
a
3
,
log
2
b
,
log
2
a
9
\log_2 a_3, \log_2 b, \log_2 a_9
lo
g
2
a
3
,
lo
g
2
b
,
lo
g
2
a
9
三數依序也成等差數列，其中
b
b
b
為
a
4
,
a
5
,
a
6
,
a
7
,
a
8
a_4, a_5, a_6, a_7, a_8
a
4
,
a
5
,
a
6
,
a
7
,
a
8
中之一數，則
a
9
=
a_9 =
a
9
=
。（化為最簡分數 ）
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
題組 12–14
12 分
坐標空間中，考慮三個平面
E
1
:
x
+
y
+
z
=
7
E_1: x + y + z = 7
E
1
:
x
+
y
+
z
=
7
,
E
2
:
x
−
y
+
z
=
3
E_2: x - y + z = 3
E
2
:
x
−
y
+
z
=
3
,
E
3
:
x
−
y
−
z
=
−
5
E_3: x - y - z = -5
E
3
:
x
−
y
−
z
=
−
5
。令
E
1
E_1
E
1
與
E
2
E_2
E
2
相交的直線為
L
3
L_3
L
3
；
E
2
E_2
E
2
與
E
3
E_3
E
3
相交的直線為
L
1
L_1
L
1
；
E
3
E_3
E
3
與
E
1
E_1
E
1
相交的直線為
L
2
L_2
L
2
。根據上述，試回答下列問題：
已知三直線
L
1
L_1
L
1
,
L
2
L_2
L
2
,
L
3
L_3
L
3
有共同交點，試求此共同交點
P
P
P
的坐標。（非選擇題，4 分）
試說明
L
1
L_1
L
1
,
L
2
L_2
L
2
,
L
3
L_3
L
3
中，任兩直線所夾的銳角皆為
6
0
∘
60^\circ
6
0
∘
。（非選擇題，4 分）
若坐標空間中第四個平面
E
4
E_4
E
4
與
E
1
E_1
E
1
,
E
2
E_2
E
2
,
E
3
E_3
E
3
圍出一個邊長為
6
2
6\sqrt{2}
6
2
的正四面體，試求出
E
4
E_4
E
4
的方程式（寫成
x
+
a
y
+
b
z
=
c
x + ay + bz = c
x
+
a
y
+
b
z
=
c
的形式）。（非選擇題，4 分）\
a
=
a=
a
=
b
=
b=
b
=
c
=
c=
c
=
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
題組 15–17
12 分
在坐標平面上，設
Γ
\Gamma
Γ
為三次函數
f
(
x
)
=
x
3
−
9
x
2
+
15
x
−
4
f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 4
f
(
x
)
=
x
3
−
9
x
2
+
15
x
−
4
的函數圖形。根據上述，試回答下列問題。
試問下列何者為
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的導函數？（單選題，2分）
A
x
2
−
9
x
+
15
x^2 - 9x + 15
x
2
−
9
x
+
15
B
3
x
3
−
18
x
2
+
15
x
−
4
3x^3 - 18x^2 + 15x - 4
3
x
3
−
18
x
2
+
15
x
−
4
C
3
x
3
−
18
x
2
+
15
x
3x^3 - 18x^2 + 15x
3
x
3
−
18
x
2
+
15
x
D
3
x
2
−
18
x
+
15
3x^2 - 18x + 15
3
x
2
−
18
x
+
15
E
x
2
−
18
x
+
15
x^2 - 18x + 15
x
2
−
18
x
+
15
試說明
P
(
1
,
3
)
P(1, 3)
P
(
1
,
3
)
為
Γ
\Gamma
Γ
上之一點，並求
Γ
\Gamma
Γ
在
P
P
P
點的切線
L
L
L
的方程式。（非選擇題，4分） 切線
L
L
L
方程式：
說明
P
P
P
在
Γ
\Gamma
Γ
上：
承 16，試求
Γ
\Gamma
Γ
和
L
L
L
所圍成有界區域的面積。（非選擇題，6分）
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
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