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113-學測-數學B
中等
共 18 題
滿分 100 分
0
0
第 1 題
已作答 0/20
作答時間
00:00
顯示答案
交卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
某遊戲共有
210
210
210
位玩家，每位玩家均持有寶石，其中持有
1
1
1
顆的有
1
1
1
位，持有
2
2
2
顆的有
2
2
2
位，依此類推，持有
20
20
20
顆寶石的有
20
20
20
位。試問這些玩家每人持有寶石數量的第
90
90
90
百分位數為下列哪一個選項？
A
16
16
16
B
17
17
17
C
18
18
18
D
19
19
19
E
20
20
20
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
已知
a
,
b
,
c
a,b,c
a
,
b
,
c
為實數，且滿足
1
<
a
<
10
1\lt a\lt 10
1
<
a
<
10
、
b
=
log
a
b=\log a
b
=
lo
g
a
、
c
=
log
b
c=\log b
c
=
lo
g
b
，試選出正確的選項。
A
c
<
0
<
b
<
1
c\lt 0\lt b\lt 1
c
<
0
<
b
<
1
B
0
<
c
<
1
<
b
0\lt c\lt 1\lt b
0
<
c
<
1
<
b
C
0
<
c
<
b
<
1
0\lt c\lt b\lt 1
0
<
c
<
b
<
1
D
1
<
c
<
b
1\lt c\lt b
1
<
c
<
b
E
c
<
b
<
0
c\lt b\lt 0
c
<
b
<
0
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
某射擊遊戲的玩家要避開障礙物射擊目標。今在遊戲畫面中設立一直角坐標系，以長方形螢幕左下角點
O
O
O
為原點，螢幕下方的邊緣為
x
x
x
軸、螢幕左方的邊緣為
y
y
y
軸，目標物放在點
P
(
12
,
10
)
P(12,10)
P
(
12
,
10
)
。畫面中有兩面牆（牆厚度可忽略不計），一面牆由點
A
(
10
,
5
)
A(10,5)
A
(
10
,
5
)
水平延伸到點
B
(
15
,
5
)
B(15,5)
B
(
15
,
5
)
，另一面牆由點
C
(
0
,
6
)
C(0,6)
C
(
0
,
6
)
水平延伸到點
D
(
9
,
6
)
D(9,6)
D
(
9
,
6
)
，如右圖之示意圖。若玩家在點
Q
Q
Q
可直線射擊點
P
P
P
的目標物，不會被兩面牆阻擋。下列哪一個選項有可能是點
Q
Q
Q
的坐標？
A
(
6
,
3
)
(6,3)
(
6
,
3
)
B
(
7
,
3
)
(7,3)
(
7
,
3
)
C
(
8
,
5
)
(8,5)
(
8
,
5
)
D
(
9
,
1
)
(9,1)
(
9
,
1
)
E
(
9
,
2
)
(9,2)
(
9
,
2
)
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
已知坐標平面上有一向量
v
→
=
(
−
2
,
3
)
\overrightarrow{v}=(-2,3)
v
=
(
−
2
,
3
)
及兩點
A
A
A
、
B
B
B
，且點
A
A
A
的
x
x
x
坐標和
y
y
y
坐標、點
B
B
B
的
x
x
x
坐標和
y
y
y
坐標都落在區間
[
0
,
1
]
[0,1]
[
0
,
1
]
內，試問
∣
v
→
+
A
B
→
∣
|{\overrightarrow{{v}}}+{\overrightarrow{{A B}}}|
∣
v
+
A
B
∣
的最大值為下列哪一個選項？
A
13
\sqrt{13}
13
B
17
\sqrt{17}
17
C
3
2
3\sqrt{2}
3
2
D
5
5
5
E
2
+
13
{\sqrt{2}}+{\sqrt{13}}
2
+
13
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
設二次函數
f
(
x
)
=
x
2
+
b
x
+
c
f(x)=x^{2}+b x+c
f
(
x
)
=
x
2
+
b
x
+
c
，其中
b
,
c
b,c
b
,
c
為實數。已知
f
(
x
−
2
)
=
f
(
−
x
−
2
)
f(x-2)=f(-x-2)
f
(
x
−
2
)
=
f
(
−
x
−
2
)
對任意實數
x
x
x
均成立，且當
−
3
≤
x
≤
1
-3\leq x\leq1
−
3
≤
x
≤
1
時，
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的最大值會是最小值的
4
4
4
倍，則
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的最小值是下列哪一個選項？
A
0
0
0
B
5
3
\dfrac{5}{3}
3
5
C
3
3
3
D
4
4
4
E
6
6
6
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
某大樓居民在大樓外牆展示聖誕樹造型燈飾，如圖所示，從五樓外牆某處
P
P
P
向四樓地板的兩端
A
,
B
A,B
A
,
B
拉小燈泡形成等腰三角形
P
A
B
PAB
P
A
B
，其中
P
A
‾
=
P
B
‾
{\overline{{P A}}}={\overline{{P B}}}
P
A
=
PB
；向三樓地板的兩端
C
,
D
C,D
C
,
D
拉小燈泡形成等腰三角形
P
C
D
PCD
PC
D
；向二樓地板的兩端
E
,
F
E,F
E
,
F
拉小燈泡形成等腰三角形
P
E
F
PEF
PEF
。假設每層樓等高且樓地板等長。若五樓地板在三角形
P
A
B
PAB
P
A
B
內部所截出的線段長度為樓地板長度的
1
3
\dfrac{1}{3}
3
1
，則五樓地板在三角形
P
E
F
PEF
PEF
內部所截出的線段長度是樓地板長度的幾分之幾？（燈飾粗細可忽略不計）
A
1
7
\dfrac{1}{7}
7
1
B
1
6
\dfrac{1}{6}
6
1
C
1
5
\dfrac{1}{5}
5
1
D
2
9
\dfrac{2}{9}
9
2
E
1
4
\dfrac{1}{4}
4
1
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
有一城市分為東、西兩區。兩區各有一個氣溫偵測站，該城市當天的最高溫（單位：攝氏度）是取這兩區當天氣溫的最大值來記錄。下表顯示東、西兩區某月（共
30
30
30
天）每日最高溫分布的情形。
根據上表，該城市當月每日最高溫分布的情形如下表。
試選出有可能為數組
(
A
,
B
,
C
,
D
)
(A,B,C,D)
(
A
,
B
,
C
,
D
)
的選項。
A
(
0
,
15
,
15
,
0
)
(0,15,15,0)
(
0
,
15
,
15
,
0
)
B
(
3
,
12
,
15
,
5
)
(3,12,15,5)
(
3
,
12
,
15
,
5
)
C
(
0
,
9
,
16
,
5
)
(0,9,16,5)
(
0
,
9
,
16
,
5
)
D
(
3
,
7
,
15
,
5
)
(3,7,15,5)
(
3
,
7
,
15
,
5
)
E
(
0
,
12
,
13
,
5
)
(0,12,13,5)
(
0
,
12
,
13
,
5
)
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
已知正實數數列
a
,
b
,
c
,
d
,
e
a,b,c,d,e
a
,
b
,
c
,
d
,
e
為等比數列，且
a
<
b
<
c
<
d
<
e
a<b<c<d<e
a
<
b
<
c
<
d
<
e
，試選出下列為等比數列的選項。
A
a
,
−
b
,
c
,
−
d
,
e
a,-b,c,-d,e
a
,
−
b
,
c
,
−
d
,
e
B
e
,
d
,
c
,
b
,
a
e,d,c,b,a
e
,
d
,
c
,
b
,
a
C
log
a
,
log
b
,
log
c
,
log
d
,
log
e
\log a,\log b,\log c,\log d, \log e
lo
g
a
,
lo
g
b
,
lo
g
c
,
lo
g
d
,
lo
g
e
D
3
a
,
3
b
,
3
c
,
3
d
,
3
e
3^a,3^b,3^c,3^d,3^e
3
a
,
3
b
,
3
c
,
3
d
,
3
e
E
a
b
c
,
b
c
d
,
c
d
e
a b c,b c d,c d e
ab
c
,
b
c
d
,
c
d
e
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
已知多項式
f
(
x
)
{\mathcal{f}}(x)
f
(
x
)
除以
x
2
+
5
x
+
1
x^{2}+5x+1
x
2
+
5
x
+
1
後，所得出的商式為
x
3
+
7
x
2
+
x
+
3
{x^{3}+7{x^{2}+x+3}}
x
3
+
7
x
2
+
x
+
3
，試選出下列可能為
f
(
x
)
{\mathcal{f}}(x)
f
(
x
)
的選項。
A
2
(
x
3
+
7
x
2
+
x
+
3
)
(
x
2
+
5
x
+
1
)
2(x^{3}+7x^{2}+x+3)(x^{2}+5x+1)
2
(
x
3
+
7
x
2
+
x
+
3
)
(
x
2
+
5
x
+
1
)
B
(
x
3
+
7
x
2
+
x
+
3
)
(
x
2
+
5
x
+
1
)
−
x
(x^{3}+7x^{2}+x+3)(x^{2}+5x+1)-x
(
x
3
+
7
x
2
+
x
+
3
)
(
x
2
+
5
x
+
1
)
−
x
C
(
x
3
+
7
x
2
+
x
+
3
)
(
x
2
+
5
x
+
1
)
+
x
2
\left(x^{3}\,+\,7x^{2}+x+3\right)\!\left(x^{2}\,+5x+1\right)+x^{2}
(
x
3
+
7
x
2
+
x
+
3
)
(
x
2
+
5
x
+
1
)
+
x
2
D
(
x
3
+
7
x
2
+
x
+
4
)
(
x
2
+
5
x
+
1
)
−
x
(x^{3}+7x^{2}+x+4)(x^{2}+5x+1)-x
(
x
3
+
7
x
2
+
x
+
4
)
(
x
2
+
5
x
+
1
)
−
x
E
(
x
3
+
7
x
2
+
x
+
4
)
(
x
2
+
5
x
+
1
)
−
x
2
(x^{3}+7x^{2}+x+4)(x^{2}+5x+1)-x^{2}
(
x
3
+
7
x
2
+
x
+
4
)
(
x
2
+
5
x
+
1
)
−
x
2
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
有兩個光點在一條長度為
120
120
120
公分的直線形軌道上移動，碰到端點就反向繼續移動。一開始兩點分別在軌道的兩端相向而動，光點
A
A
A
、光點
B
B
B
的移動速率分別為每秒
5
5
5
公分及每秒
10
10
10
公分。試選出正確的選項。
A
兩個光點第一次相遇的位置，與其中一個端點的距離為
40
40
40
公分
B
光點
A
A
A
的位置呈週期現象，週期為
24
24
24
秒
C
當光點
A
A
A
回到
A
A
A
的出發點時，光點
B
B
B
也在
B
B
B
的出發點
D
兩個光點第二次相遇在其中一個端點上
E
兩個光點在軌道上共有
3
3
3
個不同的相遇位置
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
某國家過去五年的碳排放總量，由第
1
1
1
年的
X
X
X
億公噸二氧化碳當量（
C
O
X
2
e
\ce{CO2e}
CO
X
2
e
）下降至第
5
5
5
年的
Y
Y
Y
億公噸二氧化碳當量（
C
O
X
2
e
\ce{CO2e}
CO
X
2
e
），達到每年平均減碳
5
%
5\%
5%
的效益，亦即
Y
=
(
1
−
0.05
)
4
X
Y=(1-0.05)^{4}\,X
Y
=
(
1
−
0.05
)
4
X
。將五年的碳排放總量與年成長率記錄如下表，其中
試選出正確的選項。
A
A
=
0.93
X
A=0.93X
A
=
0.93
X
B
Y
≤
0.8
X
Y\leq0.8X
Y
≤
0.8
X
C
−
0.07
+
p
+
q
+
r
4
=
−
0.05
{\dfrac{-0.07+p+q+r}{4}}=-0.05
4
−
0.07
+
p
+
q
+
r
=
−
0.05
D
Y
X
4
−
1
=
−
0.05
\sqrt[4]{\dfrac{Y}{X}}-1=-0.05
4
X
Y
−
1
=
−
0.05
E
0.93
(
1
+
p
)
(
1
+
q
)
(
1
+
r
)
=
(
0.95
)
4
0.93(1+p)(1+q)(1+r)=(0.95)^{4}
0.93
(
1
+
p
)
(
1
+
q
)
(
1
+
r
)
=
(
0.95
)
4
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
小明
寫了一個程式讓機器人在
2
×
2
2\times 2
2
×
2
的棋盤中移動，如圖所示。每執行一次，程式會選擇「上、下、左、右」中的某一個方向，不同方向被選擇的機率均相等，並指示機器人依該方向移動一格，但若選到的方向會跑出棋盤，則機器人該次會停在原地。每次執行都是從上次所在位置依程式重新選取的方向移動，假設機器人的初始位置在
A
A
A
。令執行程式
n
n
n
次後，機器人停留在
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
的機率分別為
a
n
a_n
a
n
、
b
n
b_n
b
n
、
c
n
c_n
c
n
和
d
n
d_n
d
n
。試選出正確的選項。
A
b
1
=
1
4
b_{1}={\dfrac{1}{4}}
b
1
=
4
1
B
b
2
=
1
8
b_{2}={\dfrac{1}{8}}
b
2
=
8
1
C
a
2
+
d
2
=
3
4
a_{2}+d_{2}={\dfrac{3}{4}}
a
2
+
d
2
=
4
3
D
b
99
=
c
99
b_{\mathrm{99}}=c_{\mathrm{99}}
b
99
=
c
99
E
a
100
+
d
100
>
1
2
a_{100}+d_{100}\gt \dfrac{1}{2}
a
100
+
d
100
>
2
1
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
已知
a
,
b
,
c
,
d
a,b,c,d
a
,
b
,
c
,
d
為實數，且
[
1
−
1
3
−
2
]
[
a
b
]
=
[
1
0
]
\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
[
1
3
−
1
−
2
]
[
a
b
]
=
[
1
0
]
。若
[
1
−
1
3
−
2
]
[
2
a
+
1
2
b
+
1
]
=
[
c
d
]
\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2a+1 \\ 2b+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}
[
1
3
−
1
−
2
]
[
2
a
+
1
2
b
+
1
]
=
[
c
d
]
，則
c
−
3
d
c-3d
c
−
3
d
的值為
。
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
某校全體高三學生都有報考學測數學
A
A
A
或數學
B
B
B
，在這些學生中只報考數學
A
A
A
的學生占全體高三學生的
3
10
\dfrac{3}{10}
10
3
。報考數學
A
A
A
的學生中有
5
8
\dfrac{5}{8}
8
5
的學生同時也報考數學
B
B
B
。則只報考數學
B
B
B
的學生在該校所有報考數學
B
B
B
的學生中所占的比例為
。（化為最簡分數）
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
已知
P
1
P_1
P
1
、
P
2
P_2
P
2
、
Q
1
Q_1
Q
1
、
Q
2
Q_2
Q
2
、
R
R
R
為平面上相異五點，其中
P
1
P_1
P
1
、
P
2
P_2
P
2
、
R
R
R
三點不共線，且滿足
P
1
R
→
=
4
P
1
Q
1
→
{\overrightarrow{{P_{1}R}}}=4\,{\overrightarrow{{P_{1}Q_1}}}
P
1
R
=
4
P
1
Q
1
，
P
2
R
→
=
7
P
2
Q
2
→
{\overrightarrow{{P_{2}R}}}=7\,{\overrightarrow{{P_{2}Q_2}}}
P
2
R
=
7
P
2
Q
2
，則
Q
1
Q
2
→
=
\overrightarrow{Q_1Q_2}=
Q
1
Q
2
=
P
1
Q
1
→
\overrightarrow{P_1Q_1}
P
1
Q
1
+
+
+
P
2
Q
2
→
\overrightarrow{P_2Q_2}
P
2
Q
2
。
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
在空間坐標系中，有一球心坐標在
O
(
0
,
0
,
0
)
O(0,0,0)
O
(
0
,
0
,
0
)
且北極點在
N
(
0
,
0
,
2
)
N(0,0,2)
N
(
0
,
0
,
2
)
的地球儀。已知球面上點
A
A
A
坐標為
(
3
2
,
1
2
,
3
)
\left(\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac12,\sqrt3\right)
(
2
3
,
2
1
,
3
)
，赤道上距離點
A
A
A
最遠的點為點
P
P
P
，則在通過點
A
A
A
、點
P
P
P
的大圓上這兩點的劣弧長為
π
\pi
π
。（化為最簡分數）
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
在一圓的圓周上取
12
12
12
個等分點並以順時針方向依序編
1
1
1
號至
12
12
12
號。由這
12
12
12
個點任取
3
3
3
點為頂點所形成的三角形中，三個內角的角度由小到大會成等差數列的三角形有
個。
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
題組 18–20
15 分
如圖所示，考慮長方體的石塊上某一頂點
A
A
A
及包含點
A
A
A
的一個面，令這個面的各邊中點分別為
B
,
E
,
F
,
D
B,E,F,D
B
,
E
,
F
,
D
。此長方體上包含點
B
B
B
的另一個面，令其各邊中點分別為
B
,
C
,
H
,
G
B,C,H,G
B
,
C
,
H
,
G
。已知
B
C
‾
=
8
,
B
D
‾
=
D
C
‾
=
9
{\overline{{B C}}}=8,{\overline{{B D}}}={\overline{{D C}}}=9
BC
=
8
,
B
D
=
D
C
=
9
。現將此石塊截去八個角，使得每個截角的截面恰通過該截角之三鄰邊的中點。根據上述，試回答下列問題。
截角後的石塊為幾面體？
A
八面體
B
十面體
C
十二面體
D
十四面體
E
十六面體
試求
Δ
B
C
D
\Delta BCD
Δ
BC
D
的面積
。
試求
A
D
‾
\overline{AD}
A
D
的長度與四面體
A
B
C
D
ABCD
A
BC
D
的體積，並求此四面體以
Δ
B
C
D
\Delta BCD
Δ
BC
D
為底面時，頂點
A
A
A
到底面的高度。（
角錐體積
=
底面積
×
高
3
角錐體積=\dfrac{底面積 \times 高}{3}
角錐體積
=
3
底面積
×
高
）
A
D
‾
\overline{AD}
A
D
的長度
四面體
A
B
C
D
ABCD
A
BC
D
的體積
頂點
A
A
A
到底面的高度
送出前，你對答案有多大把握？
可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。
不太確定／猜的
有些把握
很有把握
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