113-學測-數學B
中等
某遊戲共有 210210 位玩家,每位玩家均持有寶石,其中持有 11 顆的有 11 位,持有 22 顆的有 22 位,依此類推,持有 2020 顆寶石的有 2020 位。試問這些玩家每人持有寶石數量的第 9090 百分位數為下列哪一個選項?
已知 a,b,ca,b,c 為實數,且滿足1<a<101\lt a\lt 10b=logab=\log ac=logbc=\log b,試選出正確的選項。
某射擊遊戲的玩家要避開障礙物射擊目標。今在遊戲畫面中設立一直角坐標系,以長方形螢幕左下角點 OO 為原點,螢幕下方的邊緣為 xx 軸、螢幕左方的邊緣為 yy 軸,目標物放在點 P(12,10)P(12,10)。畫面中有兩面牆(牆厚度可忽略不計),一面牆由點 A(10,5)A(10,5) 水平延伸到點 B(15,5)B(15,5),另一面牆由點 C(0,6)C(0,6) 水平延伸到點 D(9,6)D(9,6),如右圖之示意圖。若玩家在點 QQ 可直線射擊點 PP 的目標物,不會被兩面牆阻擋。下列哪一個選項有可能是點 QQ 的坐標?image.png
已知坐標平面上有一向量 v=(2,3)\overrightarrow{v}=(-2,3) 及兩點 AABB,且點 AAxx 坐標和 yy 坐標、點 BBxx 坐標和 yy 坐標都落在區間 [0,1][0,1] 內,試問 v+AB|{\overrightarrow{{v}}}+{\overrightarrow{{A B}}}| 的最大值為下列哪一個選項?
設二次函數 f(x)=x2+bx+cf(x)=x^{2}+b x+c,其中 b,cb,c 為實數。已知 f(x2)=f(x2)f(x-2)=f(-x-2) 對任意實數 xx 均成立,且當 3x1-3\leq x\leq1 時,f(x)f(x) 的最大值會是最小值的 44 倍,則 f(x)f(x) 的最小值是下列哪一個選項?
某大樓居民在大樓外牆展示聖誕樹造型燈飾,如圖所示,從五樓外牆某處 PP 向四樓地板的兩端 A,BA,B 拉小燈泡形成等腰三角形 PABPAB,其中 PA=PB{\overline{{P A}}}={\overline{{P B}}};向三樓地板的兩端 C,DC,D 拉小燈泡形成等腰三角形 PCDPCD;向二樓地板的兩端 E,FE,F 拉小燈泡形成等腰三角形 PEFPEF。假設每層樓等高且樓地板等長。若五樓地板在三角形 PABPAB 內部所截出的線段長度為樓地板長度的 13\dfrac{1}{3},則五樓地板在三角形 PEFPEF 內部所截出的線段長度是樓地板長度的幾分之幾?(燈飾粗細可忽略不計)image.png
有一城市分為東、西兩區。兩區各有一個氣溫偵測站,該城市當天的最高溫(單位:攝氏度)是取這兩區當天氣溫的最大值來記錄。下表顯示東、西兩區某月(共 3030 天)每日最高溫分布的情形。 image.png 根據上表,該城市當月每日最高溫分布的情形如下表。 image.png 試選出有可能為數組 (A,B,C,D)(A,B,C,D) 的選項。
已知正實數數列 a,b,c,d,ea,b,c,d,e 為等比數列,且 a<b<c<d<ea<b<c<d<e,試選出下列為等比數列的選項。
已知多項式 f(x){\mathcal{f}}(x) 除以 x2+5x+1x^{2}+5x+1 後,所得出的商式為 x3+7x2+x+3{x^{3}+7{x^{2}+x+3}},試選出下列可能為 f(x){\mathcal{f}}(x) 的選項。
有兩個光點在一條長度為 120120 公分的直線形軌道上移動,碰到端點就反向繼續移動。一開始兩點分別在軌道的兩端相向而動,光點 AA、光點 BB 的移動速率分別為每秒 55 公分及每秒 1010 公分。試選出正確的選項。
某國家過去五年的碳排放總量,由第 11 年的 XX 億公噸二氧化碳當量(COX2e\ce{CO2e})下降至第 55 年的 YY 億公噸二氧化碳當量(COX2e\ce{CO2e}),達到每年平均減碳 5%5\% 的效益,亦即 Y=(10.05)4XY=(1-0.05)^{4}\,X。將五年的碳排放總量與年成長率記錄如下表,其中 image.png 試選出正確的選項。
小明寫了一個程式讓機器人在 2×22\times 2 的棋盤中移動,如圖所示。每執行一次,程式會選擇「上、下、左、右」中的某一個方向,不同方向被選擇的機率均相等,並指示機器人依該方向移動一格,但若選到的方向會跑出棋盤,則機器人該次會停在原地。每次執行都是從上次所在位置依程式重新選取的方向移動,假設機器人的初始位置在 AA。令執行程式 nn 次後,機器人停留在 AABBCCDD 的機率分別為 ana_nbnb_ncnc_ndnd_n。試選出正確的選項。image.png
已知 a,b,c,da,b,c,d 為實數,且[1132][ab]=[10]\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} 。若 [1132][2a+12b+1]=[cd]\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2a+1 \\ 2b+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix},則 c3dc-3d 的值為
某校全體高三學生都有報考學測數學 AA 或數學 BB,在這些學生中只報考數學 AA 的學生占全體高三學生的 310\dfrac{3}{10}。報考數學 AA 的學生中有 58\dfrac{5}{8} 的學生同時也報考數學 BB。則只報考數學 BB 的學生在該校所有報考數學 BB 的學生中所占的比例為 。(化為最簡分數)
已知 P1P_1P2P_2Q1Q_1Q2Q_2RR 為平面上相異五點,其中 P1P_1P2P_2RR 三點不共線,且滿足 P1R=4P1Q1{\overrightarrow{{P_{1}R}}}=4\,{\overrightarrow{{P_{1}Q_1}}}P2R=7P2Q2{\overrightarrow{{P_{2}R}}}=7\,{\overrightarrow{{P_{2}Q_2}}},則 Q1Q2=\overrightarrow{Q_1Q_2}= P1Q1\overrightarrow{P_1Q_1} ++ P2Q2\overrightarrow{P_2Q_2}
在空間坐標系中,有一球心坐標在 O(0,0,0)O(0,0,0) 且北極點在 N(0,0,2)N(0,0,2) 的地球儀。已知球面上點 AA 坐標為 (32,12,3)\left(\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac12,\sqrt3\right),赤道上距離點 AA 最遠的點為點 PP,則在通過點 AA、點 PP 的大圓上這兩點的劣弧長為 π\pi。(化為最簡分數)
在一圓的圓周上取 1212 個等分點並以順時針方向依序編 11 號至 1212 號。由這 1212 個點任取 33 點為頂點所形成的三角形中,三個內角的角度由小到大會成等差數列的三角形有 個。
題組 18-20 (15分)
如圖所示,考慮長方體的石塊上某一頂點 AA 及包含點 AA 的一個面,令這個面的各邊中點分別為 B,E,F,DB,E,F,D。此長方體上包含點 BB 的另一個面,令其各邊中點分別為 B,C,H,GB,C,H,G。已知 BC=8,BD=DC=9{\overline{{B C}}}=8,{\overline{{B D}}}={\overline{{D C}}}=9。現將此石塊截去八個角,使得每個截角的截面恰通過該截角之三鄰邊的中點。根據上述,試回答下列問題。image.png
截角後的石塊為幾面體?
試求 ΔBCD\Delta BCD 的面積
試求 AD\overline{AD} 的長度與四面體 ABCDABCD 的體積,並求此四面體以 ΔBCD\Delta BCD 為底面時,頂點 AA 到底面的高度。(角錐體積=底面積×3角錐體積=\dfrac{底面積 \times 高}{3}
AD\overline{AD} 的長度
四面體 ABCDABCD 的體積
頂點 AA 到底面的高度