113-學測-數學B

已知 $a,b,c$ 為實數，且滿足$1\lt a\lt 10$、$b=\log a$、$c=\log b$，試選出正確的選項。

某射擊遊戲的玩家要避開障礙物射擊目標。今在遊戲畫面中設立一直角坐標系，以長方形螢幕左下角點 $O$ 為原點，螢幕下方的邊緣為 $x$ 軸、螢幕左方的邊緣為 $y$ 軸，目標物放在點 $P(12,10)$。畫面中有兩面牆（牆厚度可忽略不計），一面牆由點 $A(10,5)$ 水平延伸到點 $B(15,5)$，另一面牆由點 $C(0,6)$ 水平延伸到點 $D(9,6)$，如右圖之示意圖。若玩家在點 $Q$ 可直線射擊點 $P$ 的目標物，不會被兩面牆阻擋。下列哪一個選項有可能是點 $Q$ 的坐標？

已知坐標平面上有一向量 $\overrightarrow{v}=(-2,3)$ 及兩點 $A$、$B$，且點 $A$ 的 $x$ 坐標和 $y$ 坐標、點 $B$ 的 $x$ 坐標和 $y$ 坐標都落在區間 $[0,1]$ 內，試問 $|{\overrightarrow{{v}}}+{\overrightarrow{{A B}}}|$ 的最大值為下列哪一個選項？

設二次函數 $f(x)=x^{2}+b x+c$，其中 $b,c$ 為實數。已知 $f(x-2)=f(-x-2)$ 對任意實數 $x$ 均成立，且當 $-3\leq x\leq1$ 時，$f(x)$ 的最大值會是最小值的 $4$ 倍，則 $f(x)$ 的最小值是下列哪一個選項？

某大樓居民在大樓外牆展示聖誕樹造型燈飾，如圖所示，從五樓外牆某處 $P$ 向四樓地板的兩端 $A,B$ 拉小燈泡形成等腰三角形 $PAB$，其中 ${\overline{{P A}}}={\overline{{P B}}}$；向三樓地板的兩端 $C,D$ 拉小燈泡形成等腰三角形 $PCD$；向二樓地板的兩端 $E,F$ 拉小燈泡形成等腰三角形 $PEF$。假設每層樓等高且樓地板等長。若五樓地板在三角形 $PAB$ 內部所截出的線段長度為樓地板長度的 $\dfrac{1}{3}$，則五樓地板在三角形 $PEF$ 內部所截出的線段長度是樓地板長度的幾分之幾？（燈飾粗細可忽略不計）

有一城市分為東、西兩區。兩區各有一個氣溫偵測站，該城市當天的最高溫（單位：攝氏度）是取這兩區當天氣溫的最大值來記錄。下表顯示東、西兩區某月（共 $30$ 天）每日最高溫分布的情形。 根據上表，該城市當月每日最高溫分布的情形如下表。 試選出有可能為數組 $(A,B,C,D)$ 的選項。

已知正實數數列 $a,b,c,d,e$ 為等比數列，且 $a<b<c<d<e$，試選出下列為等比數列的選項。

已知多項式 ${\mathcal{f}}(x)$ 除以 $x^{2}+5x+1$ 後，所得出的商式為 ${x^{3}+7{x^{2}+x+3}}$，試選出下列可能為 ${\mathcal{f}}(x)$ 的選項。

有兩個光點在一條長度為 $120$ 公分的直線形軌道上移動，碰到端點就反向繼續移動。一開始兩點分別在軌道的兩端相向而動，光點 $A$、光點 $B$ 的移動速率分別為每秒 $5$ 公分及每秒 $10$ 公分。試選出正確的選項。

某國家過去五年的碳排放總量，由第 $1$ 年的 $X$ 億公噸二氧化碳當量（$\ce{CO2e}$）下降至第 $5$ 年的 $Y$ 億公噸二氧化碳當量（$\ce{CO2e}$），達到每年平均減碳 $5\%$ 的效益，亦即 $Y=(1-0.05)^{4}\,X$。將五年的碳排放總量與年成長率記錄如下表，其中 試選出正確的選項。

小明寫了一個程式讓機器人在 $2\times 2$ 的棋盤中移動，如圖所示。每執行一次，程式會選擇「上、下、左、右」中的某一個方向，不同方向被選擇的機率均相等，並指示機器人依該方向移動一格，但若選到的方向會跑出棋盤，則機器人該次會停在原地。每次執行都是從上次所在位置依程式重新選取的方向移動，假設機器人的初始位置在 $A$。令執行程式 $n$ 次後，機器人停留在 $A$、$B$、$C$、$D$ 的機率分別為 $a_n$、$b_n$、$c_n$ 和 $d_n$。試選出正確的選項。

已知 $a,b,c,d$ 為實數，且$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 。若 $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2a+1 \\ 2b+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$，則 $c-3d$ 的值為 。

某校全體高三學生都有報考學測數學 $A$ 或數學 $B$，在這些學生中只報考數學 $A$ 的學生占全體高三學生的 $\dfrac{3}{10}$。報考數學 $A$ 的學生中有 $\dfrac{5}{8}$ 的學生同時也報考數學 $B$。則只報考數學 $B$ 的學生在該校所有報考數學 $B$ 的學生中所占的比例為 。（化為最簡分數）

已知 $P_1$、$P_2$、$Q_1$、$Q_2$、$R$ 為平面上相異五點，其中 $P_1$、$P_2$、$R$ 三點不共線，且滿足 ${\overrightarrow{{P_{1}R}}}=4\,{\overrightarrow{{P_{1}Q_1}}}$，${\overrightarrow{{P_{2}R}}}=7\,{\overrightarrow{{P_{2}Q_2}}}$，則 $\overrightarrow{Q_1Q_2}=$ $\overrightarrow{P_1Q_1}$ $+$ $\overrightarrow{P_2Q_2}$。

在空間坐標系中，有一球心坐標在 $O(0,0,0)$ 且北極點在 $N(0,0,2)$ 的地球儀。已知球面上點 $A$ 坐標為 $\left(\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac12,\sqrt3\right)$，赤道上距離點 $A$ 最遠的點為點 $P$，則在通過點 $A$、點 $P$ 的大圓上這兩點的劣弧長為 $\pi$。（化為最簡分數）

在一圓的圓周上取 $12$ 個等分點並以順時針方向依序編 $1$ 號至 $12$ 號。由這 $12$ 個點任取 $3$ 點為頂點所形成的三角形中，三個內角的角度由小到大會成等差數列的三角形有 個。