某公司尾牙舉辦「紅包大放送」活動。每位員工擲兩枚均勻銅板一次，若出現兩個反面可得獎金 $400$ 元；若出現一正一反可得獎金 $800$ 元；若出現兩個正面可得獎金 $800$ 元並且獲得再擲一次的機會，其獲得獎金規則與前述相同，但不再有繼續投擲銅板的機會（也就是說每位員工最多有兩次擲銅板的機會）。試問每位參加活動的員工可獲得獎金的期望值為何？

設 $n$ 為正整數。第 $n$ 個費馬數 (Fermat Number) 定義為 $F_{n}=2^{\left(2^{n}\right)}+1$， 例如 $F_{1}=2^{\left(2^{1}\right)}+1=2^{2}+1=5, F_{2}=2^{\left(2^{2}\right)}+1=2^{4}+1=17$ 。試問 $\dfrac{F_{13}}{F_{12}}$ 的整數部分以十進位表示時，其位數最接近下列哪一個選項 ? $(\log 2 \approx 0.3010)$

在一座尖塔的正南方地面某點 $A$，測得塔頂的仰角為 $14^{\circ}$；又在此尖塔正東方地面某點 $B$, 測得塔頂的仰角為 $18^{\circ} 30^{\prime}$，且 $A 、 B$ 兩點距離為 $65$ 公尺。已知當在線段 $\overline{A B}$ 上移動時，在 $C$ 點測得塔頂的仰角為最大，則 $C$ 點到塔底的距離最接近下列哪一個選項？ $\left(\cot 14^{\circ} \approx 4.01, \cot 18^{\circ} 30^{\prime} \approx 2.99\right)$

設 $\Gamma$ 為坐標平面上通過 $(7,0)$ 與 $\left(0, \dfrac{7}{2}\right)$ 兩點的圓。試選出正確的選項。

袋中有 $2$ 顆紅球、 $3$ 顆白球與 $1$ 顆監球, 其大小皆相同。今將袋中的球逐次取出，每次隨機取出一顆，取後不放回, 直到所有球被取出為止。試選出正確的選項。

設 $\left\langle a_{n}\right\rangle$、$\left\langle b_{n}\right\rangle$ 為兩實數數列, 且對所有的正整數 $n$，$a_{n}<b_{n}{ }^{2}<a_{n+1}$ 均成立。若已知 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=4$，試選出正確的選項。

已知三次實係數多項式函數 $f(x)=a x^3+b x^2+c x+2$，在 $-2 \leq x \leq 1$ 範圍內的圖形如示意圖： 試選出正確的選項。

坐標平面上以原點 $O$ 為圓心的單位圓上三相異點 $A\cdot B\cdot C$ 滿足 $2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，其中$A$ 點的坐標為 $(1,0)$。試選出正確的選項。

在坐標平面上，定義一個坐標變換 $\left[\begin{array}{l}y_1 \\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -1 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-2 \\ 3\end{array}\right]$, 其中 $\left[\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right]$ 代表舊坐標，$\left[\begin{array}{l}y_1 \\ y_2\end{array}\right]$ 代表新坐標。若舊坐標為 $\left[\begin{array}{l}r \\ s\end{array}\right]$ 的點 $P$ 經此坐標變換得到的新坐標為 $\left[\begin{array}{c}1 \\ -2\end{array}\right]$，則 $(r, s)=($ $,$ $)$

在坐標平面上，$A(a, r)$ 、 $B(b, s)$ 為函數圖形 $y=\log _2 x$ 上之兩點，其中 $a<b$ 。已知 $A 、 B$ 連線的斜率等於 $2$，且線段 $\overline{A B}$ 的長度為 $\sqrt{5}$，則 $(a, b)=($ $,$ $)$ 。 ( 化成最簡分數)

設$z$爲複數。在複數平面上，一個正六邊形依順時針方向的連續三個頂點為 $z$、$0$、$z+5-2\sqrt{3}i$ (其中 $i=\sqrt{-1}$ )，則 $z$ 的實部為 ( 化成最簡分數)

坐標空間中以 $O$ 表示原點，給定兩向量 $\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},1)$、$\overrightarrow{OB}=(2,0,0)$ 。試回答下列問題。

設 $f(x)$ 為實係數多項式函數，$xf(x)=3x^4-2x^3+x^2+\int_1^xf(t)dt$ 對 $x\geq1$ 恆成立。試回答下列問題。