設 $x_0$、$y_0$ 為正實數。若坐標平面上的點 $(10x_0,100y_0)$ 在函數 $y=10^x$ 的圖形上，則點 $(x_0,\log{y_0})$ 會在直線 $y=ax+b$ 的圖形上，其中 $a$、$b$ 為實數。試問 $2a-b$ 的值為何？

研究團隊採用某快篩試劑的檢驗，以了解保護區內生物因環境汙染而導致體內毒素累積超過標準的比率。此試劑檢驗結果只有紅色、黃色兩種。 依據過去的經驗得知：若體內毒素累積超過標準，經此試劑檢驗後，有 $75\%$ 顯示為紅色；若體內毒素累積未超過標準，經此試劑檢驗後，有 $95\%$ 顯示為黃色。 已知此保護區的某類生物經試劑檢驗後，有 $7.8\%$ 的結果顯示為紅色。假設此類生物實際體內毒素累積超過標準的比率為 $p \%$，試選出正確的選項。

試求極限 $\operatorname*{lim}_{n\rightarrow\infty}\dfrac{10^{10}}{n^{10}}\Big[1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots+(2n)^{9}\Big]$ 的值。

某電子公司有數百名員工，其用餐方式分為自備、外食兩種。經長期調查發現：若當日用餐為自備的員工，則隔天會有 $10\%$ 轉為外食；若當日用餐為外食的員工，則隔天會有 $20\%$ 轉為自備。
假設 $x_0$、$y_0$ 分別代表該公司今日用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比例，其中 $x_0$、$y_0$ 皆為正數，且 $x_n$、$y_n$ 分別代表經過 $n$ 日後用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比例。在該公司員工不變動的情形下，試選出正確的選項。

假設 $f(x)$ 為五次實係數多項式，且 $f(x)$ 除以 $x^{n}-1$ 的餘式為 $r_n(x)$，$n$ 是正整數。試選出正確的選項。

一個標有 $1$ 至 $12$ 號格子的 $12$ 格戳戳樂遊戲，每回遊戲以投擲一枚均勻銅板四次來決定要戳哪些格子。規則如下： （一） 第一次投擲銅板，若是正面，則戳1號格子；若是反面，則戳 $3$ 號格子。 （二） 第二、三、四次投擲銅板，若是正面，則所戳格子的號碼為前一次所戳格子的號碼加 $1$；若是反面，則所戳格子的號碼為前一次所戳格子的號碼加 $3$，依此類推。 例如：投擲銅板四次的結果依序為「正、反、反、正」，則會戳編號分別為 $1$、$4$、$7$、$8$ 號的四個格子。 假設 $p_m$ 代表在每回遊戲中號格子被戳到的機率，試選出正確的選項。

設 $F(x)$ 為一實係數多項式且 $F^{\prime}(x)=f(x)$。已知 $f^{\prime}(x) \gt x^2+1.1$ 對所有的實數 $x$ 均成立，試選出正確的選項。

已知 $z_1$、$z_2$、$z_3$、$z_4$ 為四個相異複數，且其在複數平面上所對應的點，依序可連成一個平行四邊形，試問下列哪些選項必為實數？

從 $6$、$8$、$10$、$12$ 中任取三個相異數字，作為三角形的三邊長，且設此三角形的最大內角為 $\theta$。在所有可能構成的三角形中，$\cos{\theta}$ 的最小值為 。（化成最簡分數）

坐標平面上，一個半徑為 $12$ 的圓與直線 $x+y=0$ 相交於兩點，且這兩點的距離為 $8$。若此圓與直線 $x+y=24$ 交於 $P$、$Q$ 兩點，則線段 $\overline{PQ}$ 的長度為 。（化成最簡根式）

考慮一梯形 $ABCD$，其中 $\overline{AB}$ 與 $\overline{DC}$ 平行。已知點 $E$、$F$ 分別在對角線 $\overline{AC}$、$\overline{BD}$ 上，且 ${\overline{{A B}}}={\dfrac{2}{5}}{\overline{{D C}}}$、${\overline{{A E}}}={\dfrac{3}{2}}{\overline{{E C}}}$、${\overline{{B F}}}={\dfrac{2}{3}}{\overline{{F D}}}$，如圖所示。 若將向量 $\overrightarrow{FE}$ 表示成 $\alpha \overrightarrow{AC}+\beta \overrightarrow{AD}$ 則實數 $\alpha=$ 、$\beta=$ 。 （化成最簡分數）

坐標空間中，令 $E$ 為通過三點 $A(0,-1,-1)$、$B(1,-1,-2)$、$C(0,1,0)$ 的平面。假設 $H$ 為空間中一點，且滿足 $\overrightarrow{{{A H}}}=\dfrac{2}{3}\,\overrightarrow{{{A B}}}-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{{{A C}}}+\,3(\overrightarrow{{{A B}}}\times\overrightarrow{{{A C}}})$。根據上述，試回答下列問題。

坐標平面上，以 $\Gamma$ 表示多項式函數 $y=x^{3}-4x^{2}+5x$ 的圖形，且以 $L$ 表示直線 $y=mx$，其中 $m$ 為實數。根據上述，試回答下列問題。