設 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 是首項為 $10$、公比是 $10$ 的等比數列。令 $b=\sum_{n=1}^{3}\log_{a_{n}}a_{n+1}$，試選出正確的選項。

設 $c$ 為實數使得三元一次方程組 $\left\{{\begin{array}{c}{x-y+z=0}\\ {2x+c y+3z=1}\\ {3x-3y+c z=0}\end{array}}\right.$ 無解。試選出 $c$ 之值。

坐標空間中 $O$ 為原點，點 $P$ 在第一卦限且 ${\overline{{O P}}}=1$。已知直線 $OP$ 與 $x$ 軸有一夾角為 $45^{\circ}$，且 $P$ 點到 $y$ 軸的距離為 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$。試選出點 $P$ 的 $z$ 坐標。

設多項式 $f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x+k$、$g(x)=x^{2}+a x+1$，其中 $k,a$ 為實數。已知 $g(x)$ 整除 $f(x)$，且方程式 $g(x)=0$ 有虛根。試選出為方程式 $f(x)=0$ 的根之選項。

坐標平面上有一圖形 $\Gamma$，其方程式為 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=101$。試選出正確的選項。

假設 $2$ 階方陣 $\left[{\begin{array}{l l}{a}&{b}\\ {c}&{d}\end{array}}\right]$ 所代表的線性變換將坐標平面上三點 $O(0,0)$, $A(1,0)$ , $B(0,1)$ 分別映射到 $O(0,0)$, $A^{\prime}(3,\sqrt{3})$ , $B^{\prime}(-\sqrt{3},3)$，並將與原點距離為 $1$ 的點 $C(x,y)$ 映射到點 $C^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$。試選出正確的選項。

假設 $A,B$ 為一拋物線 $\Gamma$ 上兩點且其連線段通過 $\Gamma$ 的焦點 $F$。設 $A,F,B$ 在 $\Gamma$ 之準線上的投影分別為 $A^{\prime},F^{\prime},B^{\prime}$。試選出等於 $\dfrac{\overline {A^{\prime}F^{\prime}}}{\overline {A^{\prime}A}}$ 的選項。（注意：此示意圖僅說明各點的相關位置，各點間距離關係並不正確）

假設兩數列 $\left\langle a_{n}\right\rangle$、$\left\langle b_{n}\right\rangle$，對所有正整數 $n$ 都滿足 $b_{n}+\frac{4n-1}{n}\lt a_{n}\lt 3b_{n}$。已知 $\operatorname*{lim}_{n\to\infty}a_{n}=6$，試選出正確的選項。

大吉百貨春節期間準備許多紅包讓顧客抽籤得紅包，並宣稱活動會一直持續到送出所有的紅包。抽籤的籤筒內有5支籤、其中只有1支籤有標示「大吉」，且每支籤被抽中的機會均等。每位顧客從籤筒中抽取一支籤記錄後，將籤放回籤筒再抽下一回，最多抽取3回。當抽取過程中出現連續兩回抽中「大吉」，則該顧客停止抽籤並得到紅包。
我們可將每位顧客抽籤是否得到紅包視為一次伯努力試驗。設整個活動第一個得到紅包的顧客是第 $X$ 位抽籤的顧客，並以 $E(X)$ 表示隨機變數 $X$ 的期望值，則 $E(X)=$ 。（四捨五入到整數位）

老師要求班上學藝安排在下週一、二、三、四這天，發完國、英、數、社、自共張複習卷，每天至少發其中一科的卷子給同學帶回家練習，隔天繳交。由於週二有國、英兩門課，國文老師要求國文的卷子一定要在週一發出以便檢討；而英文老師因為當天另有指派作業，所以要求英文的卷子不要在週二發出。依此要求，學藝共有 種安排方式。

在複數平面上，複數 $z$ 在第一象限且滿足 $|z|=1$ 以及 $\left|\dfrac{-3+4i}{5}-z^{3}\right| =$ $\left|{\dfrac{-3+4i}{5}}-z\right|$，其中 $i=\sqrt{-1}$。若 $z$ 的實部為 $a$、虛部為 $b$，則 $a=$ 、$b=$ 。 （化為最簡根式）

有一積木（如圖），其中 $ACFD$ 和 $ABED$ 是兩個全等的等腰梯形，$BCFE$ 是一個矩形。設 $A$ 點在直線 $BC$ 的投影為 $M$ 且在平面 $BCFE$ 的投影為 $P$。已知 $\overline{AD}=30$、$\overline{CF}=40$、$\overline{AP}=15$ 且 $\overline{BC}=10$。將平面 $BCFE$ 置於水平桌面上，且將與 $BCFE$ 平行的平面稱為水平面。
試回答下列問題。

$~~~~$考慮坐標平面上之向量 $\overrightarrow{a}$†、†$\overrightarrow{b}$ †滿足 $|~\overrightarrow{a}~| + |~\overrightarrow{b}~|=7$ 以及 $|~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}~|=7$。若令 $|~\overrightarrow{a}~|=x$，其中 $1<x<8$，且令 $\overrightarrow{a}$†、†$\overrightarrow{b}$ 的夾角為 $\theta$，則利用向量† $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$†、$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ ††所形成的三角形，可將 $\cos{\theta}$ 以 $x$ 表示成 ${\dfrac{c}{9x-x^{2}}}+d$，其中 $c$、$d$ 為常數且 $c>0$。令此表示式為 $f(x)$，且其定義域為 $\{x\mid1\lt x\lt 8\}$。試回答下列問題。