坐標平面上，一質點由點 $(-3,-2)$ 出發，沿著向量 $(a,1)$ 的方向移動 $5$ 單位長之後剛好抵達 $x$ 軸，其中 $a$ 為正實數。試問 $a$ 值等於下列哪一個選項？

放射性物質的半衰期 $T$ 定義為「每經過時間 $T$，該物質的質量會衰退成原來的一半」。鉛製容器中有 $A$、$B$ 兩種放射性物質，其半衰期分別為 $T_A$、$T_B$。開始記錄時這兩種物質的質量相等，$112$ 天後測量發現物質 $B$ 的質量為物質 $A$ 的質量的四分之一。根據上述，試問 $T_A$、$T_B$ 滿足下列哪一個關係式？

試問極限
$\operatorname*{lim}_{n\to\infty}{\dfrac{3}{n^{2}}}{\bigg(}{\sqrt{4n^{2}+9\times1^{2}}}+{\sqrt{4n^{2}+9\times2^{2}}}+\cdots+{\sqrt{4n^{2}+9\times(n-1)^{2}}}{\bigg)}$
的值可用下列哪一個定積分表示？

設 $a,b$ 為實數。已知 $-3,-1,4,7$ 四個數皆滿足 $x$ 的不等式 $\left|x-a\right|\leq b$，試選出正確的選項。

考慮實係數多項式 $f(x)=x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+a x+b$。已知方程式 $f(x)=0$ 有虛根 $1+2i$（其中 $i=\sqrt{-1}$ ），試選出正確的選項。

設 $a,b,c,d,r,s,t$ 皆為實數，已知坐標空間中三個非零向量 $\overrightarrow u = (a,b,0)$、$\overrightarrow {\nu} = (c,d,0)$ 及 $\overrightarrow w = (r,s,t)$ 滿足內積 $\overrightarrow w \cdot \overrightarrow u = \overrightarrow w \cdot \overrightarrow \nu = 0$。考慮三階方陣 $A = \left[\begin{array}{l l l}{a}&{b}&{0}\\ {c}&{d}&{0}\\ {r}&{s}&{t}\end{array}\right]$，試選出正確的選項。

有一個依順時針方向依序標示 $1,2,…,12$ 數字的圓形時鐘（如圖所示）。一開始在此時鐘「$12$」點鐘位置擺設一枚棋子，然後每次投擲一枚均勻銅板，依投擲結果，照以下規則移動這枚棋子的位置：
• 若出現正面，將棋子從當時位置依順時針方向移動 $5$ 個鐘點。
• 若出現反面，將棋子從當時位置依逆時針方向移動 $5$ 個鐘點。
例如：若投擲銅板三次均為正面，則棋子第一次移動到「$5$」點鐘位置、第二次移動到「$10$」點鐘位置，第三次移動到「$3$」點鐘位置。
對任一正整數 $n$，令隨機變數 $X_n$ 代表依上述規則經過 $n$ 次移動後棋子所在的點鐘位置， $P(X_n=k)$ 代表 $X_n=k$ 的機率（其中 $k=1,2,…,12$ ），且令 $E(X_n)$ 代表 $X_n$ 的期望值。試選出正確的選項。

複數平面上，設 $\overline z$ 代表複數 $z$ 的共軛複數，且 $i=\sqrt{-1}$。試選出正確的選項。

已知平面上直角 $\Delta ABC$ 的三邊長 $\overline{AB}={\sqrt{7}}$、$\overline{{{A C}}}=\sqrt{3}$、${\overline{{B C}}}=2$。若分別以 $\overline{{A B}}$ 與 $\overline{{A C}}$ 為底邊在 $\Delta ABC$ 的外部作頂角等於 $120^{\circ}$ 的等腰三角形 $\Delta MAB$ 與 $\Delta NAC$， 則 $\overline {MN}^2=$ 。（化為最簡分數）

坐標空間中有方向向量為 $(1,-2,2)$ 的直線 $L$、平面 $E_{1}:2x+3y+6z=10$ 與平面 $E_{2}:2x+3y+6z=-4$。則 $L$ 被 $E_1$、$E_2$ 所截線段的長度為 。（化為最簡分數）

百貨公司舉辦父親節抽牌送獎品活動，規則如下：主辦單位準備編號 $1$、$2$、$\cdots$、$9$ 的牌卡十張，其中編號 $8$ 的牌卡有兩張，其他編號的牌卡均只有一張。從這十張牌隨機抽出四張，且抽出不放回，依抽出順序由左至右排列成一個四位數。若排成的四位數滿足下列任一個條件，就可獲得獎品：
(1) 此四位數大於 $6400$
(2) 此四位數含有兩個數字 $8$
例如：若抽出四張牌編號依序為 $5$、$8$、$2$、$8$，則此四位數為 $5828$，可獲得獎品。
依上述規則，共有 個抽出排成的四位數可獲得獎品。

$~~~~$設 $a,b$ 為實數，並設 $O$ 為坐標平面的原點。已知二次函數 $f(x)=a x^{2}$ 的圖形與圓 $\Omega:$ $x^{2}+y^{2}-3y+b=0$ 皆通過點 $P\bigg(1_{,}{\dfrac{1}{2}}\bigg)$，並令點 $C$ 為 $\Omega$ 的圓心。根據上述，試回答下列問題。

$~~~~$坐標平面上，設 $\Gamma$ 為中心在原點且長軸落在 $y$ 軸上的橢圓。已知對原點逆時針旋轉 $\theta$ 角（其中 $0\lt \theta\lt \pi$）的線性變換將 $\Gamma$ 變換到新橢圓 $\Gamma^{\prime}:$ $40x^{2}+4{\sqrt{5}}x y+41y^{2}=180$，點 $\left(-{\dfrac{5}{3}},{\dfrac{2\sqrt{5}}{3}}\right)$ 為 $\Gamma^{\prime}$ 上離原點最遠的兩點之一。根據上述，試回答下列問題。