考慮兩個函數 $f(x)=\left\{\begin{array}{l l}{{1+x,}}&{{x\le1}}\\ {{1,}}&{{x\gt 1}}\end{array}\right.$、$g(x)=\left\{\begin{array}{c l}{{1,}}&{{x\leq1}}\\ {{3-x,}}&{{x\gt 1}}\end{array}\right.$。關於函數的極限，試選出正確的選項。

某質點在數線上移動，已知其位置坐標為 $s\left(t\right)=\int_{0}^{t}\left(-x^{2}+6x\right)d x$，其中 $t$ 表時間且 $0 \le t \le10$。若此質點的速度在時段 $0\le t< a$ 遞增，且在時段 $a < t \le 10$ 遞減，試選出正確的 $a$ 值。

在坐標平面上，其 $x$ 坐標與 $y$ 坐標都是整數的點稱為「格子點」。試問滿足方程式 $\log_{2}\left(x-1\right)=\log_{4}\left(25-y^{2}\right)$ 的格子點 $(x,y)$ 共有幾個？

設二階方陣 $M$ 為在坐標平面上定義的線性變換， $O$ 為原點。已知 $M$ 可將不共線的三點 $O$、$A$、$B$ 映射至不共線的三點 $O$、$A^{\prime}$、$B^{\prime}$，試選出正確的選項。

下列選項中，試選出與 $\cos{\dfrac{\pi}{7}}+i\sin{\dfrac{\pi}{7}}$ 相乘之後會得到實數的選項。（註：$i=\sqrt{-1}$）

持續投擲一枚公正骰子，在過程中若出現連續兩次點數的和為 $7$ 時，就停止投擲。例如：若前兩次投擲分別出現點數 $1$、$4$，點數和不等於 $7$，所以繼續投擲；若第三次投出點數 $3$，因為第二次與第三次點數和為 $7$，所以此時即停止投擲。關於此機率事件，試選出正確的選項。

關於非常數的實係數多項式函數 $f(x)$，試選出正確的選項。

設 $a,b,c$ 為三實數，且 $a>b>c$。已知 $2^{a},2^{b},2^{c}$ 三數依序成等差數列。試選出正確的選項。

不透明箱內有 $4$ 顆紅球，$8$ 顆藍球與 $13$ 顆白球。隨機同時抽取 $2$ 球（每顆球被抽到的機率相等），若抽出的兩球同色，可得獎金 $450$ 元；若抽出的兩球異色，可得獎金 $75$ 元。則隨機同時抽取 $2$ 球的獎金期望值為 元。

在坐標平面上，一圓心在 $y$ 軸正向上的圓，與直線 $y=mx$ 相切，其中 $m>0$。若此圓圓心與 $x$ 軸的距離和切點與 $x$ 軸的距離之比值為 $5$，則 $m=$ 。（化成最簡分數）

等腰三角形 $ABC$ 中，令 $\theta=\angle{BAC}$。若 ${\overline{{A B}}}^{2}={\overline{{A C}}}^{2}={\overline{{B C}}}=\mathrm{sin}\,\theta$， 則三角形的面積為 。（化成最簡分數）

坐標空間中，設 $E$ 為過原點且由向量 $\overrightarrow{u}=(2,0,1)$、$\overrightarrow{v}=(0,1,1)$ 所張出的平面。將空間中兩點 $A$、$B$ 垂直投影到平面 $E$ 上，所得投影點依序為 $A^{\prime}$、$B^{\prime}$ 兩點。已知 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{u}=5$、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{v}=2$ 試回答下列問題。

設 $f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d$ 為三次實係數多項式函數。已知 $f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，試回答下列問題。