試問 $\log(2+\sqrt{3})\,,\,1\infty6(2-\sqrt{3})\,,-1\mathrm{og}(2+\sqrt{3})\,,-1\mathrm{og}(2-\sqrt{3})\,,\,1\mathrm{og}2+\log\sqrt{3}$ 這五個數中共有多少個不同的實數？

試問有多少個整數 $x$ 滿足不等式 $|x-10|\lt |x-60|\lt |x+10|$？

已知坐標平面上 $\Delta ABC$ 的一頂點 $A(2,3)$，且知過另兩頂點的中線方程式分別為 $8x+5y=14$ 與 $x+7y=6$，試問過頂點 $A$ 的中線斜率為下列哪一選項？

設 $E$ 為坐標空間中通過 $(1,0,-1)$ 和 $(1,-1,0)$ 兩點且與直線 ${\dfrac{1}{2}}x-{\dfrac{13}{7}}=y+19=-2z$ 平行的平面。在下列選項中，試選出與 $E$ 所夾銳角為最小的平面方程式。

甲、乙、丙三人到旋轉壽司餐廳用餐。餐廳現有 $10$ 種壽司，每種壽司僅剩 $2$ 盤。假設每種壽司每個人至多只能拿 $1$ 盤，用完餐後發現每種壽司都至少有人拿了 $1$ 盤。試問三人拿取壽司的組合共有幾種？

試問有多少個實數 $x$ 滿足 $\sin2x+\cos2x={\dfrac{1}{2}}+\sin x$ 且 $0\leq x\leq2\pi$？

甲乙兩牧場記錄了 $7$ 年畜養牛、豬的數目，其畜養牛、豬數目與時間資料分別如下圖所示（$1$ 單位代表 $100$ 隻）。

已知 $f(x)$ 為實係數二次多項式，且 $y=f(x)$ 的圖形開口向下，頂點在 $(2,3)$；而 $g(x)$ 為實係數三次多項式，且 $y=g(x)$ 的圖形最右方會下降到負無限大，對稱中心在 $(2,-1)$。試選出正確的選項。

在 $\Delta ABC$ 中，已知 $\overline{AB}=2$，$\overline{AC}=3$，且 $\overline{BC}=a$。試選出正確的選項。

某公司舉辦抽獎活動，發出編號 $001$ 到 $640$ 共 $640$ 張彩券。抽獎方式為先由 $0$ 到 $9$ 十個數字中隨機抽出一個作為中獎號碼的百位數字，再依同樣方式依序抽出十位數字與個位數字。每次抽數字皆不受前面已抽結果影響，且 $0$～$9$ 任一數被抽出的機率皆為 $\dfrac{1}{10}$。如果抽出的號碼不在 $001$～$640$ 之間，則依前述方式重新再抽三個數字作為中獎號碼；若連續三輪都抽不出中獎號碼，則此抽獎活動無人中獎。試選出正確的選項。

設坐標平面上原點為 $O$，點 $A(a_1,a_2)$、$B(b_1,b_2)$ 滿足 $\begin{vmatrix} a_1 & a_2\\ b_1 & b_2\\ \end{vmatrix}=2$，而點 $C,D$ 滿足 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 且 $\overrightarrow{OD} = k\overrightarrow{OA} + (2-k)\overrightarrow{OB}$ 其中 $k\ne1$ 為一實數。試選出正確的選項。

坐標空間中一正立方體 $ABCD-EFGH$（如圖）。四個頂點的坐標為 $A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$C(0,1,0)$、$E(0,0,1)$，其中 $ABCD$ 為正立方體的一個面（不考慮其延伸平面）。考慮方向向量為 $(1,2,3)$ 且通過點 $P(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4})$ 的直線 $L$，試選出正立方體中會與 $L$ 有交點的面。

某公司趣味競賽共有 $32$ 位同仁參加，競賽採單淘汰制，每位輸了一場就淘汰。每場沒有和局，勝者晉級下一輪。公司提供每位參加同仁基本獎 $1$ 千元，第一輪獲勝者另加獎金 $2$ 千元，第二輪獲勝者再加獎金 $4$ 千元，依此方式，每輪獲勝獎金為前一輪的 $2$ 倍，例如第三輪才輸的同仁共可得到 $7$ 千元，則最後一場獲勝者總共可得 千元。

某品牌手機的電池由 $\ce{A,B}$ 兩家廠商製造，其中 $40\%$ 是 $\ce{A}$ 廠製造、$60\%$ 是 $\ce{B}$ 廠製造。已知 $\ce{A}$ 廠的電池有 $90\%$ 的機率可以正常使用超過一年，而 $\ce{B}$ 廠的電池有 $75\%$ 的機率可以正常使用超過一年。假設某甲有此品牌的手機且電池已經正常使用超過一年，則某甲手機的電池是 $\ce{A}$ 廠製造的機率為 。（化為最簡分數）

已知 $a>1$，且知當 $0\le x\le 2$ 時，$y=a^{x^2-3x+3}$ 的最小值為 $\dfrac{27}{8}$，則 $a=$ 。（化為最簡分數）

在坐標平面上，任給共線三點 $A,B,C$ 且 $A,B$ 在 $C$ 點的同側，若以 $C$ 為圓心、半徑為 $r$ 的圓 $\Gamma$ 滿足（線段乘積）$\overline{CA}\times\overline{CB}=r^2$，則稱 $A,B$ 互為對圓 $\Gamma$ 的反演點。設 $\Gamma$ 為 $x^{2}+y^{2}-2x+6y+2=0$，則點 $A(2,-2)$ 對圓 $\Gamma$ 的反演點 $B$ 的坐標為$($ $,$ $)$。

設 $A,B,C,D$ 為空間中正四面體的四個頂點，另有一點 $E$ 與點 $D$ 分別在 $\Delta ABC$ 所在平面的兩側，且（向量內積）$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AC}=0$。則 $\cos{\angle{DAE}}=$ 。（化為最簡根式）

以 $T$ 表由 $\begin{bmatrix} a & -b\\ b & a\\ \end{bmatrix}$ 定義的平面線性變換，其中 $a$、$b$ 為實數。試回答下列問題。