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111-分科測驗-數學A-題組-12-14
簡單
0
0
有一積木(如圖),其中
A
C
F
D
ACFD
A
CF
D
和
A
B
E
D
ABED
A
BE
D
是兩個全等的等腰梯形,
B
C
F
E
BCFE
BCFE
是一個矩形。設
A
A
A
點在直線
B
C
BC
BC
的投影為
M
M
M
且在平面
B
C
F
E
BCFE
BCFE
的投影為
P
P
P
。已知
A
D
‾
=
30
\overline{AD}=30
A
D
=
30
、
C
F
‾
=
40
\overline{CF}=40
CF
=
40
、
A
P
‾
=
15
\overline{AP}=15
A
P
=
15
且
B
C
‾
=
10
\overline{BC}=10
BC
=
10
。將平面
B
C
F
E
BCFE
BCFE
置於水平桌面上,且將與
B
C
F
E
BCFE
BCFE
平行的平面稱為水平面。
試回答下列問題。
利用
A
‾
D
\overline AD
A
D
在平面
B
C
F
E
BCFE
BCFE
的投影長為
30
30
30
,可得
tan
A
M
P
=
\tan{AMP}=
tan
A
MP
=
令
Q
Q
Q
為
F
C
‾
\overline{FC}
FC
上一點,滿足
A
Q
→
\overrightarrow {AQ}
A
Q
與
D
F
→
\overrightarrow {DF}
D
F
平行。利用
Δ
A
B
C
\Delta ABC
Δ
A
BC
、
Δ
A
C
Q
\Delta ACQ
Δ
A
CQ
為全等三角形,證明若水平面
W
W
W
介於
A
,
P
A,P
A
,
P
之間且與
A
A
A
的距離為
x
x
x
,則
W
W
W
與此積木所截的矩形區域之面積為
20
x
+
4
9
x
2
20x+\dfrac{4}{9}x^2
20
x
+
9
4
x
2
。
將線段
A
P
‾
\overline{{A P}}
A
P
的
n
n
n
等分點沿著向量
A
P
→
\overrightarrow{{A P}}
A
P
的方向依序設為
A
=
P
0
,
P
1
,
…
,
P
n
−
1
,
P
n
=
P
A=P_{0},P_{1},\dots,P_{n-1},P_{n}=P
A
=
P
0
,
P
1
,
…
,
P
n
−
1
,
P
n
=
P
。在每一個分段
P
k
−
1
P
k
‾
\overline{{P_{k-1}P_{k}}}
P
k
−
1
P
k
,考慮以通過
P
k
P_{k}
P
k
的水平面與此積木所截的矩形為底、
P
k
−
1
P
k
‾
\overline{{P_{k-1}P_{k}}}
P
k
−
1
P
k
為高,所形成的長方體。請利用此切片方法寫下估計此積木體積的黎曼和(不需化簡),且以定積分形式表示此積木的體積並求其值。
體積的定積分式為:
利用反導函數得積分值為:
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