111-分科測驗-數學A-題組-12-14

利用 $\overline AD$ 在平面 $BCFE$ 的投影長為 $30$，可得 $\tan{AMP}=$

令 $Q$ 為 $\overline{FC}$ 上一點，滿足 $\overrightarrow {AQ}$† 與 $\overrightarrow {DF}$ †平行。利用 $\Delta ABC$、$\Delta ACQ$ 為全等三角形，證明若水平面 $W$ 介於 $A,P$ 之間且與 $A$ 的距離為 $x$，則 $W$ 與此積木所截的矩形區域之面積為 $20x+\dfrac{4}{9}x^2$。

將線段 $\overline{{A P}}$ 的 $n$ 等分點沿著向量 $\overrightarrow{{A P}}$ †的方向依序設為 $A=P_{0},P_{1},\dots,P_{n-1},P_{n}=P$。在每一個分段 $\overline{{P_{k-1}P_{k}}}$，考慮以通過 $P_{k}$ 的水平面與此積木所截的矩形為底、$\overline{{P_{k-1}P_{k}}}$ 為高，所形成的長方體。請利用此切片方法寫下估計此積木體積的黎曼和（不需化簡），且以定積分形式表示此積木的體積並求其值。

體積的定積分式為：
利用反導函數得積分值為：