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112-分科測驗-數學A-題組-12-14

    ~~~~設 a,ba,b 為實數，並設 OO 為坐標平面的原點。已知二次函數 f(x)=ax2f(x)=a x^{2} 的圖形與圓 Ω:\Omega: x2+y2−3y+b=0x^{2}+y^{2}-3y+b=0 皆通過點 P(1,12)P\bigg(1_{,}{\dfrac{1}{2}}\bigg)，並令點 CC 為 Ω\Omega 的圓心。根據上述，試回答下列問題。
試求向量 CO→\overrightarrow{CO} 與 CP→\overrightarrow{CP} 夾角的餘弦值 == 。
提示 1查看提示

配方找圓心；x2+y2−3y+b=0x^2+y^2-3y+b=0 的圓心不受 bb 影響。

提示 2查看提示

直接用 CO→⋅CP→=∣CO∣∣CP∣cos⁡θ\overrightarrow{CO}\cdot\overrightarrow{CP}=|CO||CP|\cos\theta。

試證明 y=f(x)y=f(x) 圖形與 Ω\Omega 在 PP 點有共同的切線。
提示 1查看提示

先由 PP 在拋物線上求 aa，得到切線斜率。

提示 2查看提示

圓的半徑 CPCP 垂直切線；求半徑斜率再比較。

試求 y=f(x)y=f(x) 圖形上方與 Ω\Omega 下半圓弧所圍區域的面積 == 。
提示 1查看提示

先求圓半徑，寫下半圓 y=3/2−2−x2y=3/2-\sqrt{2-x^2}。

提示 2查看提示

兩曲線在 x=±1x=\pm1 相切；面積是下半圓減拋物線的定積分。

送出前，你對答案有多大把握？

可略過；誠實回報有助於安排複習，不影響這題的對錯。