$~~~~$設 $a,b$ 為實數，並設 $O$ 為坐標平面的原點。已知二次函數 $f(x)=a x^{2}$ 的圖形與圓 $\Omega:$ $x^{2}+y^{2}-3y+b=0$ 皆通過點 $P\bigg(1_{,}{\dfrac{1}{2}}\bigg)$，並令點 $C$ 為 $\Omega$ 的圓心。根據上述，試回答下列問題。