109-指考-數學A

有 $A,B$ 兩個箱子，其中 $A$ 箱有 $6$ 顆白球與 $4$ 顆紅球，$B$ 箱有 $8$ 顆白球與 $2$ 顆藍球。現有三種抽獎方式（各箱中每顆球被抽取的機率相同）：
（一）先在 $A$ 箱中抽取一球，若抽中紅球則停止，若抽到白球則再從 $B$ 箱中抽取一球；
（二）先在 $B$ 箱中抽取一球，若抽中藍球則停止，若抽到白球則再從 $A$ 箱中抽取一球；
（三）同時分別在 $A,B$ 箱中各抽取一球。
給獎方式為：在紅、藍這兩種色球當中，若只抽到紅球得 $50$ 元獎金；若只抽到藍球得 $100$ 元獎金；若兩種色球都抽到，則仍只得 $100$ 元獎金；若都沒抽到，則無獎金。將上列（一）、（二）、（三）這3種抽獎方式所得獎金的期望值分別記為 $E_1$、$E_2$、$E_3$，試選出正確的選項。

根據實驗統計，某種細菌繁殖，其數量平均每 $3.5$ 小時會擴增為 $2.4$ 倍。假設實驗室的試管一開始有此種細菌 $1000$ 隻，根據指數函數模型，試問大約在多少小時後此種細菌的數量會到達隻 $4\times10^{10}$ 左右？（註：$\log{2}\approx0.3010$，$\log{3}\approx0.4771$）

在坐標平面上，設 $O$ 為原點，且 $A$、$B$ 為異於 $O$ 的相異兩點。令 $C_{1},C_{2},C_{3}$ 為平面上三個點，且滿足 ${\overrightarrow{{O C}}}_{n}={\overrightarrow{{O A}}}+n\,{\overrightarrow{{O B}}}$，$n=1,2,3$ 試選出正確的選項。

對一實數 $a$，以 $[a]$ 表示不大於 $a$ 的最大整數，例如：$\left[1.2\right]=\left[-{\sqrt{2}}\right]=1$，$\left[-1.2\right]=-2$。 考慮無理數 $\theta={\sqrt{10001}}$，試選出正確的選項。

設 $F(x)$、$f(x)$ 皆為實係數多項式函數。已知 $F^{\prime}(x) = f(x)$，試選出正確的選項。

在複數平面上，設 $O$ 為原點，且 $A$、$B$ 分別表示坐標為複數 $z$、$z+1$ 的點。已知點 $A$、點 $B$ 都在以 $O$ 為圓心的單位圓上，試選出正確的選項。

設二階實係數方陣 $A$ 代表坐標平面的一個鏡射變換且滿足 $A^3=\begin{bmatrix} 0&-1 \\ -1&0 \end{bmatrix}$；另設二階實係數方陣 $B$ 代表坐標平面的一個（以原點為中心的）旋轉變換且滿足 $B^3=\begin{bmatrix} -1&0 \\ 0&-1 \end{bmatrix}$，試選出正確的選項。

在坐標空間中，設 $O$ 為原點，且點 $P$ 為三平面 $x-3y-5z=0$、$x-3y+2z=0$、$x+y=t$ 的交點，其中 $t>0$。若 $\overline{OP}=10$，則 $t=$ 。（化成最簡根式）

考慮坐標平面上相異三點 $A$、$B$、$C$，其中點 $A$ 為 $(1,1)$。分別以線段 $\overline{{AB}}$、$\overline{{AC}}$ 為直徑作圓，此兩圓交於點 $A$ 及點 $P(4,2)$。已知 $\overline{PB}=3\sqrt{10}$ 且點 $B$ 在第四象限，則點 $B$ 的坐標為 $($ $,$ $)$。

有一個三角形公園，其三頂點為 $O$、$A$、$B$，在頂點 $O$ 處有一座 $150$ 公尺高的觀景台，某人站在觀景台上觀測地面上另兩個頂點 $A$、$B$ 與 $\overline{AB}$ 的中點 $C$，測得其俯角分別為 $30^{\circ}$、$60^{\circ}$、$45^{\circ}$。則此三角形公園的面積為 平方公尺。（化成最簡根式）