115學年度學科能力測驗數學B

以計算機的自然對數按鍵 $\ln$（即 $\ln x=\log_e x$）估算連續複利本利和 $100e^{\frac{3n}{100}}=135$ 所需期數 $n$，試選出等於 $n$ 的選項。

已知實數二階方陣 $A$ 滿足 $A\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ 以及 $A\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$。試選出 $A$ 的反方陣。

電腦程式模擬在太平洋等速航行的甲、乙兩艘船。甲船沿著北緯 60 度向西航行，乙船沿著赤道向東航行。在某一時間點甲船在西經 169 度、乙船在東經 140 度，試選出當甲船到達東經 171 度時，乙船在東經幾度。

某人購買公益彩券，第一次以 $N$ 元為投注金額。之後每次要投注時，先將前次投注金額增加一半設為預定金額。如果預定金額大於 $2N$ 元，則將預定金額減少一半投注；否則就以預定金額投注。前四次投注紀錄如下表：

	第一次	第二次	第三次	第四次
預定金額（元）		$\dfrac32N$	$\dfrac94N$	$\dfrac{27}{16}N$
投注金額（元）	$N$	$\dfrac32N$	$\dfrac98N$	$\dfrac{27}{16}N$

試選出此人第七次的投注金額為多少元。

各國沿岸的「領海基線」其外側距離基線十二浬間之海域，為該國之「領海」。在以浬為單位的坐標平面上，某國有一部分的領海基線為直線 $L:4x+3y-12=0$ 上的某一線段，且 $(5,5)$ 位於該領海基線的內側，如圖所示。試選出該段領海在 $L$ 與下列哪一條直線之間。

有 $A$、$B$、$C$ 三種福袋各一個，其中 $A$、$B$、$C$ 中獎的機率分別為 $\dfrac34$、$\dfrac23$、$\dfrac12$，且不同福袋中獎與否互不影響。設在福袋 $A$ 中獎的條件下，至少有兩個福袋中獎的機率為 $p$，且設在至少有兩個福袋中獎的條件下，福袋 $A$ 中獎的機率為 $q$。試選出 $\dfrac pq$ 之值。

試選出與函數 $y=3\sin\left(\dfrac\pi5x+\pi\right)+3$ 在每個實數 $x$ 所得函數值皆相同的函數。

設 $f(x)=(1-x)(2-x)^2(4+x)$。試選出正確的選項。

某研究探討昆蟲的身長與其體內兩種養分 $A$、$B$ 濃度的關係。研究中蒐集某種昆蟲，測得牠們身長與體內 $A$ 濃度的數據如下表。

	平均數	變異數
身長	65 單位	100 平方單位
$A$ 濃度	50 單位	225 平方單位

身長與 $A$ 濃度的相關係數為 $0.75$。已知每隻昆蟲體內的 $B$ 濃度均為 $A$ 濃度的 $0.5$ 倍。試選出正確的選項。

有一立燈為了採光，採用兩個可以替換的大、小燈罩。兩燈罩皆為直圓錐面的一部分，裝在燈上其軸線位置相同、燈源皆在頂點，且大燈罩照射在地面上的光線範圍大於小燈罩的光線範圍，如圖所示。令大、小燈罩在地面上所成的光線邊緣分別為圓錐曲線 $\Gamma$、$\gamma$ 的一部分。試選出正確的選項。

有兩容器，$A$ 瓶內有含糖 100 公克的紅茶 1000 毫升，$B$ 瓶內有不含糖的紅茶 500 毫升。用以下方式稀釋 $A$ 瓶的甜度：將 $A$ 瓶混合均勻後，倒出 500 毫升至 $B$ 瓶，再將 $B$ 瓶混合均勻後，倒 500 毫升回 $A$ 瓶，稱此為一次稀釋。重複此稀釋動作，令第 $n$ 次稀釋完，$A$ 瓶的含糖量為 $a_n$ 公克。試選出正確的選項。

坐標平面上，$L_1$ 為通過原點 $O$ 且斜角為 $75^\circ$ 的直線；$L_2$ 為通過點 $(-20,0)$ 且斜角為 $30^\circ$ 的直線，如圖所示。則 $L_1$、$L_2$ 的交點到原點的距離為 。（四捨五入至整數）

將 $1,2,3,4,5,6,7$ 七個數字排成一個七位數。若要求排出的數字 $3,4$ 相鄰、$5,6$ 相鄰以及 $6,7$ 相鄰，則共可排出 個七位數。

某校健康檢查：全體學生中有近視的占 $\dfrac12$、有蛀牙的占 $\dfrac13$。設 $p$ 為全體學生中無近視且無蛀牙的學生所占比例。將部分資料依所占比例以列聯表呈現如下：

	有近視	無近視	總和
有蛀牙			$\dfrac13$
無蛀牙		$p$	$\dfrac23$
總和	$\dfrac12$	$\dfrac12$	$1$

已知有近視的學生中，有蛀牙的占少數；有蛀牙的學生中，有近視的占多數。則 $<p<$ 。（化為最簡分數）

坐標平面上，$L$ 為一次函數 $y=f(x)$ 的圖形，$\Gamma$ 為二次函數 $y=g(x)$ 的圖形。已知 $L$ 與 $\Gamma$ 交於 $(1,0)$、$(5,4)$ 兩點，且點 $(2,2)$ 在 $\Gamma$ 上。則 $g(x)-f(x)$ 的最大值為 。（化為最簡分數）

利用單點透視法將坐標空間的點繪製在畫布的坐標平面上。已知 （一）空間中與 $y$ 軸平行的直線，在畫布上的消失點為 $(0,15)$。 （二）空間中與 $z$ 軸平行的直線，在畫布上都與 $y$ 軸平行。 若點 $(0,0,0)$、$(3,4,0)$、$(3,0,3)$ 繪在畫布上分別為 $(0,0)$、$\left(\dfrac{13}{5},2\right)$、$(3,3)$，則點 $(3,4,3)$ 繪在畫布上的 $y$ 坐標為 。（化為最簡分數） （註：下圖為三點 $(3,4,0)$、$(3,0,3)$、$(3,4,3)$ 於坐標空間的位置關係。）

有一張星軌照片，照片中的星星各自繞著以北極星為圓心且以逆時鐘方向旋轉 $90^\circ$ 角所畫出的圓弧軌跡。在此照片所設的坐標平面上令北極星為點 $P$。已知甲星軌跡的起點、終點坐標分別為 $(8,0)$、$(0,0)$，軌跡如圖所示。根據上述，試回答下列問題。 試選出甲星軌跡的起點與終點連線線段的中垂線方程式。

有一張星軌照片，照片中的星星各自繞著以北極星為圓心且以逆時鐘方向旋轉 $90^\circ$ 角所畫出的圓弧軌跡。在此照片所設的坐標平面上令北極星為點 $P$。已知甲星軌跡的起點、終點坐標分別為 $(8,0)$、$(0,0)$，軌跡如圖所示。根據上述，試回答下列問題。 令 $L$ 為通過點 $(8,0)$ 且斜率為 $1$ 的直線。試說明點 $P$ 在 $L$ 上，並求甲星軌跡所在的圓方程式。請寫出計算過程或理由。

有一張星軌照片，照片中的星星各自繞著以北極星為圓心且以逆時鐘方向旋轉 $90^\circ$ 角所畫出的圓弧軌跡。在此照片所設的坐標平面上令北極星為點 $P$。已知甲星軌跡的起點、終點坐標分別為 $(8,0)$、$(0,0)$，軌跡如圖所示。根據上述，試回答下列問題。 已知照片中乙星軌跡的起點 $Q$ 坐標為 $(2,8)$。令 $R$ 為其軌跡終點，試求 $\overrightarrow{PR}$ 以及點 $R$ 的坐標。請寫出計算過程或理由。