已知圖中「粗灰線」橢圓的方程式為 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，試選出最有可能為圖中「粗黑線」圖形方程式的選項。

已知 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ 為首項為 $1$、公比為 $r$ 的無窮等比數列（其中 $r$ 為非零實數），且知兩無窮等比級數 $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots$ 與 $a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2n-1}+\cdots$ 皆收斂且其乘積為 $1$。試選出正確的 $r$ 值。

對任意實數 $x$，試選出函數 $f(x)=\sin(x+\dfrac{\pi}{3})+\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 的最大值。

箱中有編號分別為 $1,2,3$ 的球各 $n_1,n_2,n_3$ 顆（其中 $n_1,n_2,n_3$ 皆為正整數）。隨機抽取一球（每球被抽中的機率相等），所抽出球的編號為 $1,2,3$ 的機率分別記為 $p_1,p_2,p_3$。試選出正確的選項。

設 $a$ 為實數，關於複數 $z=\dfrac{a-2i}{1+2i}$ 的性質，試選出正確的選項（其中 $i=\sqrt{-1}$，$\overline z$ 為 $z$ 的共軛複數）。

對於實係數多項式 $f(x)$，將閉區間 $[a,b]$ 分割成三等分段，取每個分段左端點上的 $f(x)$ 函數值所得的黎曼和記為 $M_a^b(f)$，即 $M_a^b(f)=\frac{b-a}{3}\left[f(a)+f\left(a+\frac{b-a}{3}\right)+f\left(a+\frac{2(b-a)}{3}\right)\right].$ 取每個分段右端點上的 $f(x)$ 函數值所得的黎曼和記為 $N_a^b(f)$，即 $N_a^b(f)=\frac{b-a}{3}\left[f\left(a+\frac{b-a}{3}\right)+f\left(a+\frac{2(b-a)}{3}\right)+f(b)\right].$ 若已知 $f(x)$ 及其一階與二階導函數在三段開區間的正、負，如下表：

區間	$(2,3)$	$(4,5)$	$(6,7)$
$f(x)$	正	負	負
$f'(x)$	負	正	負
$f''(x)$	負	負	正

例如：在開區間 $(2,3)$ 上，滿足 $f(x)>0$、$f'(x)<0$ 且 $f''(x)<0$。試選出正確的選項。

考慮函數 $f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$，試選出正確的選項。

坐標平面上兩向量 $\vec{u}$、$\vec{v}$ 滿足 $|\vec{u}+\vec{v}|=2$ 與 $\vec{u}-\vec{v}=(2,2)$。試選出正確的選項。

某甲到菜市場買蓮霧、草莓與葡萄共三種水果，每斤的價格依序為 $110$、$190$ 與 $160$ 元。已知某甲共買了 $11$ 斤半的水果，共花費 $1945$ 元，且草莓比葡萄多買了 $2$ 斤。設蓮霧、草莓與葡萄依序分別買了 $x$、$y$ 與 $z$ 斤，將以上訊息寫成三元一次聯立方程式，再利用高斯消去法化簡得到增廣矩陣 $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&\frac{23}{2}\\0&8&a&68\\0&0&1&b\end{array}\right]$，則 $a=$ ，$b=$ 。

坐標平面上，一圓 $C$ 的圓心在 $x$ 軸上，且圓 $C$ 與兩直線 $L_1:y=\dfrac{4}{3}x$、$L_2:y=-\dfrac{3}{4}x$ 皆不相交。設圓 $C$ 上的點到 $L_1$ 之最短距離為 $d_1$，圓 $C$ 上的點到 $L_2$ 之最短距離為 $d_2$。若 $d_1$ 是 $d_2$ 的三倍，則過原點 $(0,0)$ 且與圓 $C$ 相切的直線，其斜率為 $\pm$ 。（化為最簡根式）

某甲參加一遊戲，其規則如下：第一階段連續投擲一公正骰子五次，設隨機變數 $X$ 為出現點數大於 $4$ 點的次數，若 $X\ge3$ 才可進入第二階段，否則就淘汰。第二階段仍然連續投擲一公正骰子五次，設隨機變數 $Y$ 為出現偶數點數的次數，若 $Y=X-1$ 才可獲獎，否則就淘汰。則在某甲獲獎的條件下，$X=3$ 的機率為 。（化為最簡分數）

設 $p(x),q(x)$ 為實係數多項式，已知 $q(x)$ 為首項係數為 $1$ 的二次式，且滿足 $[q(x)]^2=x\int_1^x p(t)\,dt$。根據上述，試回答下列問題。 試證明 $q(0)=q(1)$。

設 $p(x),q(x)$ 為實係數多項式，已知 $q(x)$ 為首項係數為 $1$ 的二次式，且滿足 $[q(x)]^2=x\int_1^x p(t)\,dt$。根據上述，試回答下列問題。 試求 $p(x)$。

設 $p(x),q(x)$ 為實係數多項式，已知 $q(x)$ 為首項係數為 $1$ 的二次式，且滿足 $[q(x)]^2=x\int_1^x p(t)\,dt$。根據上述，試回答下列問題。 試求多項式函數 $\int_1^x(p(t)-q(t))\,dt$ 在閉區間 $[\dfrac{1}{2},3]$ 上的最大值與最小值。

考慮坐標空間中兩平面 $E_1:x+y+2z=2$、$E_2:2x-y+z=1$，並設其交線為 $L$。根據上述，試回答下列問題。 點 $(1,0,0)$ 到 $E_1$ 的距離為 。（化為最簡根式）

考慮坐標空間中兩平面 $E_1:x+y+2z=2$、$E_2:2x-y+z=1$，並設其交線為 $L$。根據上述，試回答下列問題。 設另一平面 $E_3$ 與 $L$ 平行且包含直線 $\begin{cases}x=3+t\\y=-2-t\\z=2+3t\end{cases}$，其中 $t$ 為實數，試求平面 $E_3$ 的方程式。

考慮坐標空間中兩平面 $E_1:x+y+2z=2$、$E_2:2x-y+z=1$，並設其交線為 $L$。根據上述，試回答下列問題。 承第 $16$ 題，設另一平面 $E$ 與三平面 $E_1,E_2,E_3$ 皆垂直，且設 $E$ 分別與 $E_1$、$E_2$、$E_3$ 的三條交線在 $E$ 上所圍出的三角形為 $\Gamma$。試證明 $\Gamma$ 為正三角形並求 $\Gamma$ 的邊長。