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115-分科測驗-數學甲
中等
共 17 題
滿分 100 分
0
0
第 1 題
已作答 0/17
作答時間
00:00
交卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
已知圖中「粗灰線」橢圓的方程式為
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1
a
2
x
2
+
b
2
y
2
=
1
，試選出最有可能為圖中「粗黑線」圖形方程式的選項。
A
x
2
b
2
+
y
2
a
2
=
1
\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1
b
2
x
2
+
a
2
y
2
=
1
B
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1
a
2
x
2
−
b
2
y
2
=
1
C
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
−
1
\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1
a
2
x
2
−
b
2
y
2
=
−
1
D
x
2
b
2
−
y
2
a
2
=
1
\dfrac{x^2}{b^2}-\dfrac{y^2}{a^2}=1
b
2
x
2
−
a
2
y
2
=
1
E
x
2
b
2
−
y
2
a
2
=
−
1
\dfrac{x^2}{b^2}-\dfrac{y^2}{a^2}=-1
b
2
x
2
−
a
2
y
2
=
−
1
已知
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
a_1,a_2,a_3,\ldots
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
為首項為
1
1
1
、公比為
r
r
r
的無窮等比數列（其中
r
r
r
為非零實數），且知兩無窮等比級數
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
+
a
n
+
⋯
a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
+
a
n
+
⋯
與
a
1
+
a
3
+
a
5
+
⋯
+
a
2
n
−
1
+
⋯
a_1+a_3+a_5+\cdots+a_{2n-1}+\cdots
a
1
+
a
3
+
a
5
+
⋯
+
a
2
n
−
1
+
⋯
皆收斂且其乘積為
1
1
1
。試選出正確的
r
r
r
值。
A
−
1
2
-\dfrac{1}{2}
−
2
1
B
1
−
3
2
\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}
2
1
−
3
C
1
+
3
2
\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}
2
1
+
3
D
1
−
5
2
\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
2
1
−
5
E
1
+
5
2
\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
2
1
+
5
對任意實數
x
x
x
，試選出函數
f
(
x
)
=
sin
(
x
+
π
3
)
+
sin
x
−
3
cos
x
f(x)=\sin(x+\dfrac{\pi}{3})+\sin x-\sqrt{3}\cos x
f
(
x
)
=
sin
(
x
+
3
π
)
+
sin
x
−
3
cos
x
的最大值。
A
1
1
1
B
2
\sqrt{2}
2
C
3
\sqrt{3}
3
D
1
+
2
1+\sqrt{2}
1
+
2
E
1
+
3
1+\sqrt{3}
1
+
3
箱中有編號分別為
1
,
2
,
3
1,2,3
1
,
2
,
3
的球各
n
1
,
n
2
,
n
3
n_1,n_2,n_3
n
1
,
n
2
,
n
3
顆（其中
n
1
,
n
2
,
n
3
n_1,n_2,n_3
n
1
,
n
2
,
n
3
皆為正整數）。隨機抽取一球（每球被抽中的機率相等），所抽出球的編號為
1
,
2
,
3
1,2,3
1
,
2
,
3
的機率分別記為
p
1
,
p
2
,
p
3
p_1,p_2,p_3
p
1
,
p
2
,
p
3
。試選出正確的選項。
A
在已知抽出一球且此球不是
1
1
1
號球的條件下，則該球為
2
2
2
號球的機率為
p
2
1
−
p
1
\dfrac{p_2}{1-p_1}
1
−
p
1
p
2
B
抽出球編號的期望值等於
2
+
p
3
−
p
1
2+p_3-p_1
2
+
p
3
−
p
1
C
若
n
1
,
n
2
,
n
3
n_1,n_2,n_3
n
1
,
n
2
,
n
3
為等差數列，則
p
1
,
p
2
,
p
3
p_1,p_2,p_3
p
1
,
p
2
,
p
3
亦為等差數列
D
若
n
1
,
n
2
,
n
3
n_1,n_2,n_3
n
1
,
n
2
,
n
3
為等比數列，則
p
2
≥
1
3
p_2\ge\dfrac{1}{3}
p
2
≥
3
1
E
若
p
k
<
1
2
p_k<\dfrac{1}{2}
p
k
<
2
1
對
k
=
1
,
2
,
3
k=1,2,3
k
=
1
,
2
,
3
都成立，則
n
1
,
n
2
,
n
3
n_1,n_2,n_3
n
1
,
n
2
,
n
3
可以構成一個三角形的三個邊長
設
a
a
a
為實數，關於複數
z
=
a
−
2
i
1
+
2
i
z=\dfrac{a-2i}{1+2i}
z
=
1
+
2
i
a
−
2
i
的性質，試選出正確的選項（其中
i
=
−
1
i=\sqrt{-1}
i
=
−
1
，
z
‾
\overline z
z
為
z
z
z
的共軛複數）。
A
z
z
z
的實部為
a
−
4
5
\dfrac{a-4}{5}
5
a
−
4
B
若
z
‾
=
z
\overline z=z
z
=
z
，則
a
=
1
a=1
a
=
1
C
∣
z
∣
2
≥
4
5
|z|^2\ge\dfrac{4}{5}
∣
z
∣
2
≥
5
4
D
若
a
=
0
a=0
a
=
0
，則
z
z
z
的主幅角大於
π
\pi
π
E
無論
a
a
a
值為何，
z
z
z
都不會落在複數平面上的第一象限
對於實係數多項式
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
，將閉區間
[
a
,
b
]
[a,b]
[
a
,
b
]
分割成三等分段，取每個分段左端點上的
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
函數值所得的黎曼和記為
M
a
b
(
f
)
M_a^b(f)
M
a
b
(
f
)
，即
M
a
b
(
f
)
=
b
−
a
3
[
f
(
a
)
+
f
(
a
+
b
−
a
3
)
+
f
(
a
+
2
(
b
−
a
)
3
)
]
.
M_a^b(f)=\frac{b-a}{3}\left[f(a)+f\left(a+\frac{b-a}{3}\right)+f\left(a+\frac{2(b-a)}{3}\right)\right].
M
a
b
(
f
)
=
3
b
−
a
[
f
(
a
)
+
f
(
a
+
3
b
−
a
)
+
f
(
a
+
3
2
(
b
−
a
)
)
]
.
取每個分段右端點上的
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
函數值所得的黎曼和記為
N
a
b
(
f
)
N_a^b(f)
N
a
b
(
f
)
，即
N
a
b
(
f
)
=
b
−
a
3
[
f
(
a
+
b
−
a
3
)
+
f
(
a
+
2
(
b
−
a
)
3
)
+
f
(
b
)
]
.
N_a^b(f)=\frac{b-a}{3}\left[f\left(a+\frac{b-a}{3}\right)+f\left(a+\frac{2(b-a)}{3}\right)+f(b)\right].
N
a
b
(
f
)
=
3
b
−
a
[
f
(
a
+
3
b
−
a
)
+
f
(
a
+
3
2
(
b
−
a
)
)
+
f
(
b
)
]
.
若已知
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
及其一階與二階導函數在三段開區間的正、負，如下表：
區間
(
2
,
3
)
(2,3)
(
2
,
3
)
(
4
,
5
)
(4,5)
(
4
,
5
)
(
6
,
7
)
(6,7)
(
6
,
7
)
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
正
負
負
f
′
(
x
)
f'(x)
f
′
(
x
)
負
正
負
f
′
′
(
x
)
f''(x)
f
′′
(
x
)
負
負
正
例如：在開區間
(
2
,
3
)
(2,3)
(
2
,
3
)
上，滿足
f
(
x
)
>
0
f(x)>0
f
(
x
)
>
0
、
f
′
(
x
)
<
0
f'(x)<0
f
′
(
x
)
<
0
且
f
′
′
(
x
)
<
0
f''(x)<0
f
′′
(
x
)
<
0
。試選出正確的選項。
A
在開區間
(
4
,
5
)
(4,5)
(
4
,
5
)
上，函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
遞增且圖形凹口向上
B
在開區間
[
5
,
6
]
[5,6]
[
5
,
6
]
上，函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形有反曲點
C
∫
2
3
f
(
x
)
d
x
<
M
2
3
(
f
)
\int_2^3 f(x)\,dx<M_2^3(f)
∫
2
3
f
(
x
)
d
x
<
M
2
3
(
f
)
D
∫
4
5
f
(
x
)
d
x
>
N
4
5
(
f
)
\int_4^5 f(x)\,dx>N_4^5(f)
∫
4
5
f
(
x
)
d
x
>
N
4
5
(
f
)
E
∫
6
7
f
(
x
)
d
x
>
1
2
(
M
6
7
(
f
)
+
N
6
7
(
f
)
)
\int_6^7 f(x)\,dx>\dfrac{1}{2}\left(M_6^7(f)+N_6^7(f)\right)
∫
6
7
f
(
x
)
d
x
>
2
1
(
M
6
7
(
f
)
+
N
6
7
(
f
)
)
考慮函數
f
(
x
)
=
log
(
1
+
x
1
−
x
)
f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)
f
(
x
)
=
lo
g
(
1
−
x
1
+
x
)
，試選出正確的選項。
A
當
x
<
1
x<1
x
<
1
時，
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
都有意義
B
當
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
與
f
(
−
x
)
f(-x)
f
(
−
x
)
都有意義時，
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
f(-x)=-f(x)
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
成立
C
若
f
(
x
)
>
0
f(x)>0
f
(
x
)
>
0
，則
x
>
0
x>0
x
>
0
D
存在實數
a
a
a
，滿足
f
(
a
)
=
−
100
f(a)=-100
f
(
a
)
=
−
100
E
坐標平面上，
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
的圖形與
y
=
1
0
1
+
x
1
−
x
y=10^{\frac{1+x}{1-x}}
y
=
1
0
1
−
x
1
+
x
的圖形對直線
y
=
x
y=x
y
=
x
對稱
坐標平面上兩向量
u
⃗
\vec{u}
u
、
v
⃗
\vec{v}
v
滿足
∣
u
⃗
+
v
⃗
∣
=
2
|\vec{u}+\vec{v}|=2
∣
u
+
v
∣
=
2
與
u
⃗
−
v
⃗
=
(
2
,
2
)
\vec{u}-\vec{v}=(2,2)
u
−
v
=
(
2
,
2
)
。試選出正確的選項。
A
∣
v
⃗
+
(
1
,
1
)
∣
=
1
|\vec{v}+(1,1)|=1
∣
v
+
(
1
,
1
)
∣
=
1
B
u
⃗
⋅
v
⃗
=
−
1
\vec{u}\cdot\vec{v}=-1
u
⋅
v
=
−
1
C
∣
v
⃗
∣
≤
2
|\vec{v}|\le2
∣
v
∣
≤
2
D
u
⃗
\vec{u}
u
不可能與
v
⃗
\vec{v}
v
平行
E
若
u
⃗
\vec{u}
u
、
v
⃗
\vec{v}
v
的夾角為
θ
\theta
θ
，則
∣
u
⃗
∣
∣
v
⃗
∣
sin
θ
≤
2
2
|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\le2\sqrt{2}
∣
u
∣∣
v
∣
sin
θ
≤
2
2
某甲到菜市場買蓮霧、草莓與葡萄共三種水果，每斤的價格依序為
110
110
110
、
190
190
190
與
160
160
160
元。已知某甲共買了
11
11
11
斤半的水果，共花費
1945
1945
1945
元，且草莓比葡萄多買了
2
2
2
斤。設蓮霧、草莓與葡萄依序分別買了
x
x
x
、
y
y
y
與
z
z
z
斤，將以上訊息寫成三元一次聯立方程式，再利用高斯消去法化簡得到增廣矩陣
[
1
1
1
23
2
0
8
a
68
0
0
1
b
]
\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&\frac{23}{2}\\0&8&a&68\\0&0&1&b\end{array}\right]
1
0
0
1
8
0
1
a
1
2
23
68
b
，則
a
=
a=
a
=
，
b
=
b=
b
=
。
坐標平面上，一圓
C
C
C
的圓心在
x
x
x
軸上，且圓
C
C
C
與兩直線
L
1
:
y
=
4
3
x
L_1:y=\dfrac{4}{3}x
L
1
:
y
=
3
4
x
、
L
2
:
y
=
−
3
4
x
L_2:y=-\dfrac{3}{4}x
L
2
:
y
=
−
4
3
x
皆不相交。設圓
C
C
C
上的點到
L
1
L_1
L
1
之最短距離為
d
1
d_1
d
1
，圓
C
C
C
上的點到
L
2
L_2
L
2
之最短距離為
d
2
d_2
d
2
。若
d
1
d_1
d
1
是
d
2
d_2
d
2
的三倍，則過原點
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
且與圓
C
C
C
相切的直線，其斜率為
±
\pm
±
。（化為最簡根式）
某甲參加一遊戲，其規則如下：第一階段連續投擲一公正骰子五次，設隨機變數
X
X
X
為出現點數大於
4
4
4
點的次數，若
X
≥
3
X\ge3
X
≥
3
才可進入第二階段，否則就淘汰。第二階段仍然連續投擲一公正骰子五次，設隨機變數
Y
Y
Y
為出現偶數點數的次數，若
Y
=
X
−
1
Y=X-1
Y
=
X
−
1
才可獲獎，否則就淘汰。則在某甲獲獎的條件下，
X
=
3
X=3
X
=
3
的機率為
。（化為最簡分數）
設
p
(
x
)
,
q
(
x
)
p(x),q(x)
p
(
x
)
,
q
(
x
)
為實係數多項式，已知
q
(
x
)
q(x)
q
(
x
)
為首項係數為
1
1
1
的二次式，且滿足
[
q
(
x
)
]
2
=
x
∫
1
x
p
(
t
)
d
t
[q(x)]^2=x\int_1^x p(t)\,dt
[
q
(
x
)
]
2
=
x
∫
1
x
p
(
t
)
d
t
。根據上述，試回答下列問題。 試證明
q
(
0
)
=
q
(
1
)
q(0)=q(1)
q
(
0
)
=
q
(
1
)
。
設
p
(
x
)
,
q
(
x
)
p(x),q(x)
p
(
x
)
,
q
(
x
)
為實係數多項式，已知
q
(
x
)
q(x)
q
(
x
)
為首項係數為
1
1
1
的二次式，且滿足
[
q
(
x
)
]
2
=
x
∫
1
x
p
(
t
)
d
t
[q(x)]^2=x\int_1^x p(t)\,dt
[
q
(
x
)
]
2
=
x
∫
1
x
p
(
t
)
d
t
。根據上述，試回答下列問題。 試求
p
(
x
)
p(x)
p
(
x
)
。
設
p
(
x
)
,
q
(
x
)
p(x),q(x)
p
(
x
)
,
q
(
x
)
為實係數多項式，已知
q
(
x
)
q(x)
q
(
x
)
為首項係數為
1
1
1
的二次式，且滿足
[
q
(
x
)
]
2
=
x
∫
1
x
p
(
t
)
d
t
[q(x)]^2=x\int_1^x p(t)\,dt
[
q
(
x
)
]
2
=
x
∫
1
x
p
(
t
)
d
t
。根據上述，試回答下列問題。 試求多項式函數
∫
1
x
(
p
(
t
)
−
q
(
t
)
)
d
t
\int_1^x(p(t)-q(t))\,dt
∫
1
x
(
p
(
t
)
−
q
(
t
))
d
t
在閉區間
[
1
2
,
3
]
[\dfrac{1}{2},3]
[
2
1
,
3
]
上的最大值與最小值。
考慮坐標空間中兩平面
E
1
:
x
+
y
+
2
z
=
2
E_1:x+y+2z=2
E
1
:
x
+
y
+
2
z
=
2
、
E
2
:
2
x
−
y
+
z
=
1
E_2:2x-y+z=1
E
2
:
2
x
−
y
+
z
=
1
，並設其交線為
L
L
L
。根據上述，試回答下列問題。 點
(
1
,
0
,
0
)
(1,0,0)
(
1
,
0
,
0
)
到
E
1
E_1
E
1
的距離為
。（化為最簡根式）
考慮坐標空間中兩平面
E
1
:
x
+
y
+
2
z
=
2
E_1:x+y+2z=2
E
1
:
x
+
y
+
2
z
=
2
、
E
2
:
2
x
−
y
+
z
=
1
E_2:2x-y+z=1
E
2
:
2
x
−
y
+
z
=
1
，並設其交線為
L
L
L
。根據上述，試回答下列問題。 設另一平面
E
3
E_3
E
3
與
L
L
L
平行且包含直線
{
x
=
3
+
t
y
=
−
2
−
t
z
=
2
+
3
t
\begin{cases}x=3+t\\y=-2-t\\z=2+3t\end{cases}
⎩
⎨
⎧
x
=
3
+
t
y
=
−
2
−
t
z
=
2
+
3
t
，其中
t
t
t
為實數，試求平面
E
3
E_3
E
3
的方程式。
考慮坐標空間中兩平面
E
1
:
x
+
y
+
2
z
=
2
E_1:x+y+2z=2
E
1
:
x
+
y
+
2
z
=
2
、
E
2
:
2
x
−
y
+
z
=
1
E_2:2x-y+z=1
E
2
:
2
x
−
y
+
z
=
1
，並設其交線為
L
L
L
。根據上述，試回答下列問題。 承第
16
16
16
題，設另一平面
E
E
E
與三平面
E
1
,
E
2
,
E
3
E_1,E_2,E_3
E
1
,
E
2
,
E
3
皆垂直，且設
E
E
E
分別與
E
1
E_1
E
1
、
E
2
E_2
E
2
、
E
3
E_3
E
3
的三條交線在
E
E
E
上所圍出的三角形為
Γ
\Gamma
Γ
。試證明
Γ
\Gamma
Γ
為正三角形並求
Γ
\Gamma
Γ
的邊長。
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