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這次載入比平常久，請稍候…
114-分科測驗-數學乙
中等
共 18 題
滿分 100 分
0
0
第 1 題
已作答 0/18
作答時間
00:00
交卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
試選出
1.
5
‾
×
5
1.\overline{5}\times5
1.
5
×
5
的值。
A
7.
5
‾
7.\overline{5}
7.
5
B
7.
6
‾
7.\overline{6}
7.
6
C
7.
7
‾
7.\overline{7}
7.
7
D
7.
8
‾
7.\overline{8}
7.
8
E
7.
9
‾
7.\overline{9}
7.
9
坐標平面上，試問下列哪一個方程式的圖形是通過點
(
1
,
1
)
(1,1)
(
1
,
1
)
的圓？
A
(
x
−
1
)
2
+
y
2
=
1
(x-1)^2+y^2=1
(
x
−
1
)
2
+
y
2
=
1
B
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
1
)
2
=
1
(x-1)^2+(y-1)^2=1
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
1
)
2
=
1
C
3
(
x
−
1
)
2
+
y
2
=
1
3(x-1)^2+y^2=1
3
(
x
−
1
)
2
+
y
2
=
1
D
x
2
+
y
2
=
1
x^2+y^2=1
x
2
+
y
2
=
1
E
x
2
+
3
y
=
4
x^2+3y=4
x
2
+
3
y
=
4
已知有兩個公正的六面骰子
A
A
A
、
B
B
B
：
A
A
A
上的點數分別為
1
,
2
,
5
,
6
,
7
,
9
1,2,5,6,7,9
1
,
2
,
5
,
6
,
7
,
9
；
B
B
B
上的點數分別為
1
,
3
,
4
,
5
,
6
,
9
1,3,4,5,6,9
1
,
3
,
4
,
5
,
6
,
9
。同時擲
A
A
A
、
B
B
B
兩骰子，則在
A
A
A
點數大於
B
B
B
點數的條件下，
B
B
B
點數是
6
6
6
的機率為何？
A
1
6
\dfrac{1}{6}
6
1
B
1
9
\dfrac{1}{9}
9
1
C
1
16
\dfrac{1}{16}
16
1
D
1
18
\dfrac{1}{18}
18
1
E
1
32
\dfrac{1}{32}
32
1
空間中有一個邊長為
1
1
1
的正立方體，點
O
O
O
為其中一個頂點，其餘
7
7
7
個頂點為
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
、
D
D
D
、
E
E
E
、
F
F
F
、
G
G
G
。已知
O
A
‾
=
A
B
‾
=
B
C
‾
=
C
D
‾
=
D
E
‾
=
E
F
‾
=
F
G
‾
=
1
\overline{OA}=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=\overline{EF}=\overline{FG}=1
O
A
=
A
B
=
BC
=
C
D
=
D
E
=
EF
=
FG
=
1
且
O
G
‾
>
1
\overline{OG}>1
OG
>
1
，試選出距離點
O
O
O
最遠的頂點。
A
C
C
C
B
D
D
D
C
E
E
E
D
F
F
F
E
G
G
G
某公司統計上週
8
8
8
家分店的來店人數
x
x
x
（單位：百人）及營業額
y
y
y
（單位：萬元），得到
8
8
8
筆數據
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
，記錄如下：
(
3
,
3
)
(3,3)
(
3
,
3
)
、
(
3
,
5
)
(3,5)
(
3
,
5
)
、
(
3
,
2
)
(3,2)
(
3
,
2
)
、
(
4
,
4
)
(4,4)
(
4
,
4
)
、
(
5
,
8
)
(5,8)
(
5
,
8
)
、
(
6
,
7
)
(6,7)
(
6
,
7
)
、
(
8
,
12
)
(8,12)
(
8
,
12
)
、
(
8
,
7
)
(8,7)
(
8
,
7
)
。在坐標平面上標出這
8
8
8
個點（如下圖所示），推得這
8
8
8
筆數據
y
y
y
對
x
x
x
的最適直線（迴歸直線）方程式為
y
=
5
4
x
−
1
4
y=\dfrac{5}{4}x-\dfrac{1}{4}
y
=
4
5
x
−
4
1
。
公司從另外一個角度分析，將這
8
8
8
筆數據的來店人數、營業額各自從小到大排列，得到新的
8
8
8
筆數據
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
如下：
(
3
,
2
)
(3,2)
(
3
,
2
)
、
(
3
,
3
)
(3,3)
(
3
,
3
)
、
(
3
,
4
)
(3,4)
(
3
,
4
)
、
(
4
,
5
)
(4,5)
(
4
,
5
)
、
(
5
,
7
)
(5,7)
(
5
,
7
)
、
(
6
,
7
)
(6,7)
(
6
,
7
)
、
(
8
,
8
)
(8,8)
(
8
,
8
)
、
(
8
,
12
)
(8,12)
(
8
,
12
)
。設新的
8
8
8
筆數據
y
y
y
對
x
x
x
的最適直線方程式為
y
=
m
x
+
b
y=mx+b
y
=
m
x
+
b
，其中
m
m
m
、
b
b
b
為實數。根據上述，試選出正確的選項。
A
m
=
5
4
m=\dfrac{5}{4}
m
=
4
5
且
b
=
−
1
4
b=-\dfrac{1}{4}
b
=
−
4
1
B
m
>
5
4
m>\dfrac{5}{4}
m
>
4
5
且
b
>
−
1
4
b>-\dfrac{1}{4}
b
>
−
4
1
C
m
>
5
4
m>\dfrac{5}{4}
m
>
4
5
且
b
<
−
1
4
b<-\dfrac{1}{4}
b
<
−
4
1
D
m
<
5
4
m<\dfrac{5}{4}
m
<
4
5
且
b
>
−
1
4
b>-\dfrac{1}{4}
b
>
−
4
1
E
m
<
5
4
m<\dfrac{5}{4}
m
<
4
5
且
b
<
−
1
4
b<-\dfrac{1}{4}
b
<
−
4
1
試選出
∑
k
=
1
5
log
7
(
2
k
−
1
2
k
+
1
)
\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\log_7\left(\dfrac{2k-1}{2k+1}\right)
k
=
1
∑
5
lo
g
7
(
2
k
+
1
2
k
−
1
)
的值。
A
−
log
11
-\log 11
−
lo
g
11
B
log
11
\log 11
lo
g
11
C
log
11
7
\log\dfrac{11}{7}
lo
g
7
11
D
−
log
11
log
7
-\dfrac{\log11}{\log7}
−
lo
g
7
lo
g
11
E
log
11
log
7
\dfrac{\log11}{\log7}
lo
g
7
lo
g
11
設二階方陣
A
=
[
1
0
1
0
]
A=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}
A
=
[
1
1
0
0
]
、
B
=
[
0
1
0
1
]
B=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}
B
=
[
0
0
1
1
]
。試選出正確的選項。
A
A
2
=
A
A^2=A
A
2
=
A
B
A
+
B
=
B
+
A
A+B=B+A
A
+
B
=
B
+
A
C
A
B
=
B
A
AB=BA
A
B
=
B
A
D
(
A
−
B
)
2
=
A
2
−
2
A
B
+
B
2
(A-B)^2=A^2-2AB+B^2
(
A
−
B
)
2
=
A
2
−
2
A
B
+
B
2
E
(
A
+
B
)
2
=
2
(
A
+
B
)
(A+B)^2=2(A+B)
(
A
+
B
)
2
=
2
(
A
+
B
)
平面上有一個三角形
A
B
C
ABC
A
BC
，其中
∠
A
=
9
1
∘
\angle A=91^\circ
∠
A
=
9
1
∘
、
∠
C
=
2
9
∘
\angle C=29^\circ
∠
C
=
2
9
∘
。令
B
C
‾
=
a
\overline{BC}=a
BC
=
a
、
C
A
‾
=
b
\overline{CA}=b
C
A
=
b
、
A
B
‾
=
c
\overline{AB}=c
A
B
=
c
。試選出正確的選項。
A
a
2
>
b
2
+
c
2
a^2>b^2+c^2
a
2
>
b
2
+
c
2
B
c
a
>
sin
2
9
∘
\dfrac{c}{a}>\sin29^\circ
a
c
>
sin
2
9
∘
C
b
a
>
cos
2
9
∘
\dfrac{b}{a}>\cos29^\circ
a
b
>
cos
2
9
∘
D
a
2
+
b
2
−
c
2
a
b
<
3
\dfrac{a^2+b^2-c^2}{ab}<\sqrt3
ab
a
2
+
b
2
−
c
2
<
3
E
三角形
A
B
C
ABC
A
BC
的外接圓半徑小於
c
c
c
有一個抽牌拿獎金活動，規則如下：在一個不透明箱子中有
2
2
2
張標示金額「
1000
1000
1000
元」的牌及
3
3
3
張標示金額「
0
0
0
元」的牌。參加者從箱中隨機抽出一張牌，在不知道抽出牌標示的金額情況下，主持人將一張標示金額「
500
500
500
元」的牌放入箱中。此時參加者有以下兩種選擇： （一）保留原先抽出的牌，該牌標示的金額即為獲得的獎金。 （二）放棄原先抽出的牌且不放回，再從箱中隨機抽出一張牌，該牌標示的金額即為獲得的獎金。 令某甲參加此活動，假設每張牌被抽出的機會均相等，試選出正確的選項。
A
若某甲選擇（一），則獲得獎金
0
0
0
元的機率為
3
5
\dfrac{3}{5}
5
3
B
若某甲選擇（一），則獲得獎金的期望值為
500
500
500
元
C
若某甲選擇（二），則獲得獎金
1000
1000
1000
元的機率為
2
5
\dfrac{2}{5}
5
2
D
若某甲選擇（二），則獲得獎金
0
0
0
元的機率為
12
25
\dfrac{12}{25}
25
12
E
若某甲選擇（二），則獲得獎金的期望值為
420
420
420
元
設
i
=
−
1
i=\sqrt{-1}
i
=
−
1
，已知複數
1
−
7
i
−
1
+
i
=
a
+
b
i
\dfrac{1-7i}{-1+i}=a+bi
−
1
+
i
1
−
7
i
=
a
+
bi
，其中
a
a
a
、
b
b
b
為實數。求
a
a
a
、
b
b
b
。
a
=
a=
a
=
，
b
=
b=
b
=
某洗衣機的行程必須從一、二、三、四、五共
5
5
5
種不同衣料擇一，搭配甲、乙、丙、丁共
4
4
4
種不同模式擇一，另有
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
共
3
3
3
種附加功能，每種附加功能可以自由選擇是否開啟，但是「第一種衣料」不可以與附加功能「
A
A
A
」同時使用。例如「第二種衣料」搭配「甲模式」，且同時開啟「
A
A
A
」、「
B
B
B
」兩種附加功能為一個可以的行程；但「第一種衣料」搭配「甲模式」，且同時開啟「
A
A
A
」、「
B
B
B
」兩種附加功能為一個不可以的行程。根據上述，此洗衣機共有幾個可以的行程？ 答案：
平面上有不共線的三點
A
A
A
、
B
B
B
、
C
C
C
，已知向量
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
與
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
的內積為
16
16
16
，
C
B
→
\overrightarrow{CB}
CB
與
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
的內積為
3
3
3
，則
A
C
‾
\overline{AC}
A
C
的長度為何？（化為最簡根式） 答案：
設
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
為實係數三次多項式，已知函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
在
x
=
−
3
x=-3
x
=
−
3
處有極小值，在
x
=
1
x=1
x
=
1
處有極大值。根據上述，試回答下列問題。 下列關於
f
′
′
(
−
3
)
f''(-3)
f
′′
(
−
3
)
和
f
′
′
(
1
)
f''(1)
f
′′
(
1
)
的敘述，試選出正確的選項。
A
f
′
′
(
−
3
)
=
f
′
′
(
1
)
=
0
f''(-3)=f''(1)=0
f
′′
(
−
3
)
=
f
′′
(
1
)
=
0
B
f
′
′
(
−
3
)
>
0
f''(-3)>0
f
′′
(
−
3
)
>
0
且
f
′
′
(
1
)
>
0
f''(1)>0
f
′′
(
1
)
>
0
C
f
′
′
(
−
3
)
>
0
f''(-3)>0
f
′′
(
−
3
)
>
0
且
f
′
′
(
1
)
<
0
f''(1)<0
f
′′
(
1
)
<
0
D
f
′
′
(
−
3
)
<
0
f''(-3)<0
f
′′
(
−
3
)
<
0
且
f
′
′
(
1
)
>
0
f''(1)>0
f
′′
(
1
)
>
0
E
f
′
′
(
−
3
)
<
0
f''(-3)<0
f
′′
(
−
3
)
<
0
且
f
′
′
(
1
)
<
0
f''(1)<0
f
′′
(
1
)
<
0
設
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
為實係數三次多項式，已知函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
在
x
=
−
3
x=-3
x
=
−
3
處有極小值，在
x
=
1
x=1
x
=
1
處有極大值。根據上述，試回答下列問題。 已知通過
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
圖形反曲點的切線斜率為
4
4
4
，試求
f
′
(
x
)
f'(x)
f
′
(
x
)
。
設
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
為實係數三次多項式，已知函數
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y
=
f
(
x
)
在
x
=
−
3
x=-3
x
=
−
3
處有極小值，在
x
=
1
x=1
x
=
1
處有極大值。根據上述，試回答下列問題。 承第
14
14
14
題，試求
∫
−
3
1
f
′
(
x
)
d
x
\int_{-3}^{1}f'(x)\,dx
∫
−
3
1
f
′
(
x
)
d
x
的值。
某人想在農地種植甲、乙兩種水果，並設定甲水果的種植面積（甲面積）、乙水果的種植面積（乙面積）符合以下三個條件： （一）甲面積不超過
15
15
15
公畝。 （二）甲面積與乙面積的和不超過
24
24
24
公畝。 （三）甲面積不超過乙面積的
3
3
3
倍，且乙面積不超過甲面積的
2
2
2
倍。 設甲面積為
x
x
x
公畝、乙面積為
y
y
y
公畝。根據上述，試回答下列問題。 試問下列哪一個選項的數對
(
x
,
y
)
(x,y)
(
x
,
y
)
會滿足上述的三個條件？
A
(
7
,
15
)
(7,15)
(
7
,
15
)
B
(
12
,
13
)
(12,13)
(
12
,
13
)
C
(
14
,
10
)
(14,10)
(
14
,
10
)
D
(
15
,
4
)
(15,4)
(
15
,
4
)
E
(
16
,
8
)
(16,8)
(
16
,
8
)
某人想在農地種植甲、乙兩種水果，並設定甲水果的種植面積（甲面積）、乙水果的種植面積（乙面積）符合以下三個條件： （一）甲面積不超過
15
15
15
公畝。 （二）甲面積與乙面積的和不超過
24
24
24
公畝。 （三）甲面積不超過乙面積的
3
3
3
倍，且乙面積不超過甲面積的
2
2
2
倍。 設甲面積為
x
x
x
公畝、乙面積為
y
y
y
公畝。根據上述，試回答下列問題。 試將某人對甲面積、乙面積所設定的三個條件，以
x
x
x
、
y
y
y
的二元一次聯立不等式表示。
某人想在農地種植甲、乙兩種水果，並設定甲水果的種植面積（甲面積）、乙水果的種植面積（乙面積）符合以下三個條件： （一）甲面積不超過
15
15
15
公畝。 （二）甲面積與乙面積的和不超過
24
24
24
公畝。 （三）甲面積不超過乙面積的
3
3
3
倍，且乙面積不超過甲面積的
2
2
2
倍。 設甲面積為
x
x
x
公畝、乙面積為
y
y
y
公畝。根據上述，試回答下列問題。 已知某人的農地收成時，甲水果每公畝可獲利
6
6
6
萬元、乙水果每公畝可獲利
7
7
7
萬元。試求某人種植甲、乙兩種水果的最大獲利為多少萬元？在答題卷完整寫出計算過程，並在作圖區畫出可行解區域及標出其所有頂點坐標，再以斜線標示該區域。
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